Математический анализ

Главное изображение:

Название категории:

Описание:

Математический анализ – раздел математики, изучающий функции и их обобщения методом пределов.

Шаблон страницы:

Обычный Статья Статья + навигация

Статус:

Черновик Публикация Архив

<p><strong>Математический анализ</strong><em> – </em>раздел математики, изучающий функции и их обобщения методом пределов.</p> <p>Математический анализ в широком понимании является весьма значительной частью математики, его методы широко используются в других разделах математики, в естественных и некоторых гуманитарных науках, а также в технике. Старинное название  <em>– </em><strong>анализ бесконечно малых</strong><em>. </em>В классическом математическом анализе объектом изучения (анализа) являются <em>функции</em>. Способы их изучения базируются на понятии <em>предела.</em></p> <p>Математический анализ в узком понимании употребляется для наименования только основ математического анализа, которые изучаются в системе высшего (а частично, и среднего) образования. В них входят дифференциальное и интегральное исчисления, их обоснование и непосредственные приложения.</p> <p><strong>Функция</strong><em> – </em>одно из основных понятий математики. Функцией называется правило (отображение, соответствие, закон)  <em>f,  </em>ставящее каждому элементу  <em>x</em>  из некоторого множества  <em>X  </em>в соответствие определённый элемент  <em>y  </em>из множества  <em>Y, </em>который обозначают  как  <em>f</em>(<em>x</em>). <em> </em></p> <p>Понятие функции менялось с развитием математики. В античной математике идея функции не была явно выражена и не являлась объектом исследования. В зачаточной форме понятие функции появляется в средние века. В XVII веке ряд математиков фактически пользуется понятием функции. Сам термин «функция» впервые появляется в 1692 году у Г. Лейбница, причем не в современном его понимании. Близкое к современному понятию определение дал Л. Эйлер в его «Дифференциальном исчислении» 1755 года: “Когда некоторые количества зависят от других таким образом, что при изменении последних и сами они подвергаются изменению, то первые называют функциями вторых”. Но в XVIII веке отсутствовало ясное понимание различия между функцией и её аналитическим (в виде формулы) выражением. Только в XIX веке у ряда математиков (С. Лакруа, Ж. Фурье, Н.И. Лобачевский, П. Дирихле) появляются определения функции фактически совпадающие с вышеприведённым.</p> <p><strong>Предел</strong>  также является одним из основных понятий математики. Если данная функция  <em>y = </em><em>f</em>(<em>x</em>)  при определённом изменении  <em>x</em>  приближается к некоторой постоянной величине <em>c</em>, то последняя называется пределом  функции  <em>f</em>(<em>x</em>). Точный смысл понятия «предел функции» имеет лишь при указании закона изменения  <em>x</em>  и наличия точного понятия  близости  элемента  <em>y  </em>к величине <em> </em><em>c</em>. С пределом связаны основные понятия математического анализа: <a href="/enc/ru/encyclopedia:0130895"><span>непрерывность</span></a>, производная, <a href="/enc/ru/encyclopedia:0130215"><span>дифференциал</span></a>, интеграл. Одним из простейших случаев предела функции является предел числовой последовательности<em>. </em></p> <p><strong>Предел числовой последовательности</strong><em>. </em>Пусть дана числовая последовательность <em>– </em>функция  <em>f,  </em>ставящая каждому натуральному числу  <em>n</em>  из множества натуральных чисел  N <em> </em>в соответствие определенный элемент  <em>y  </em>из множества действительных чисел  R<em>, </em>который обозначим  как</p> <p><img style="display: block; margin-left: auto; margin-right: auto; vertical-align: middle;" src="http://www.lomonosov-fund.ru/enc/file/?objectId=30581&trim_x=50&trim_y=50" alt="" /></p> <p><em> </em></p> <p>Действительное число  <em>c</em>  называется пределом последовательности   <em> </em><em> </em><img style="vertical-align: middle;" src="http://www.lomonosov-fund.ru/enc/file/?objectId=30585&trim_x=50&trim_y=50" alt="" /><em>,  </em>если для любого действительного числа      ε > 0  существует такое число  <em>N,  </em>что для всех натуральных  <em>n > </em><em>N  </em>выполняется неравенство <img style="vertical-align: middle;" src="http://www.lomonosov-fund.ru/enc/file/?objectId=30587&trim_x=50&trim_y=50" alt="" /> ,  при этом пишут  <img style="vertical-align: middle;" src="http://www.lomonosov-fund.ru/enc/file/?objectId=30592&trim_x=50&trim_y=50" alt="" />  . Здесь указано, что  <em>n </em> берутся достаточно большими, а близость  <em>y</em><em>  </em>к  <em>c  </em>определяется модулем их разности.</p> <p><strong>Предел функции</strong><em>. </em>Пусть функция  <em>f  </em>ставит каждому числу  <em>x</em>  из некоторого подмножества действительных чисел  R  в соответствие действительное число  <em>y = </em><em>f</em>(<em>x</em>). Действительное число <em> </em><em>b  </em>называется пределом функции  <em>f  </em>в точке  <em>a </em> из  R  (при  <em>x  </em>стремящемся к  <em>a</em>), если для любого действительного числа  ε > 0  существует такое действительное число  δ > 0, что для любого такого числа  <em>x, </em>что <em> </em>0 < |<em> </em><em>x – </em><em>a</em>| < δ,  выполняется неравенство  |<em>f</em>(<em>x</em>)<em> – </em><em>b</em>| < ε,  при этом пишут <img style="vertical-align: middle;" src="http://www.lomonosov-fund.ru/enc/file/?objectId=30593&trim_x=50&trim_y=50" alt="" /> Отметим, что в определении требуется, чтобы функция  <em>f  </em>была определена для чисел  <em>x,  </em>близких к  <em>a.</em></p> <p><em><br /></em></p> <p>Равносильным данному определению является следующее определение. Действительное число <em> </em><em>b  </em>называется пределом функции  <em>f  </em>в точке  <em>a </em> из  R,  если для любой последовательности  <em>x</em><em>,  </em>которая стремится к  <em>a,  </em>но никогда не принимает значения  <em>a, </em>последовательность <em> </em><em>y</em><em>= </em><em>f  </em>(<em>x</em>)<em>, </em>стремится к  <em>b.</em></p> <p>К понятию предела близко подошли древнегреческие учёные при вычислении площадей и объёмов некоторых фигур и тел с помощью метода исчерпывания, когда для данной фигуры или тела строится последовательность более простых вписанных и описанных фигур или тел, разность между площадями (соответственно объёмами) которых становится все меньше и меньше, т.е. стремится к нулю. Интуитивное понятие предела начинает систематически использоваться в XVII веке рядом математиков. Из них следует особо отметить И. Ньютона, который в своём труде «Математические начала натуральной философии», опубликованном в 1687 году, широко применял «метод флюксий» – своеобразную теорию пределов. В XVIII веке понятие предела постепенно уточнялось и анализировалось. Современная теория предела начала формироваться в начале XIX века. Впервые понятие предела стало основой построения математического анализа в работах О. Коши. Окончательно оно оформилось в работах Б. Больцано и К. Вейерштрасса. В настоящее время существуют многочисленные обобщения этого понятия для разных математических объектов.</p> <p>Основами математического анализа являются дифференциальное и интегральное исчисления. Основное понятие дифференциального исчисления – <em>производная,</em> характеризующее скорость изменения функции  <em>y =</em> <em>f</em>(<em>x</em>)  при изменении аргумента  <em>x, </em>где<em>  </em><em>y  </em>и  <em>x  </em>–  действительные числа. Производная<em>  </em><em> </em> <img style="vertical-align: middle;" src="http://www.lomonosov-fund.ru/enc/file/?objectId=30594&trim_x=50&trim_y=50" alt="" /> – функция, определяемая для каждого <em>x</em>  как предел     <img style="display: block; margin-left: auto; margin-right: auto;" src="http://www.lomonosov-fund.ru/enc/file/?objectId=30485&trim_x=50&trim_y=50" alt="" />если он существует. Если существует производная функции <img style="vertical-align: middle;" src="http://www.lomonosov-fund.ru/enc/file/?objectId=30594&trim_x=50&trim_y=50" alt="" /><em>,</em><em>  </em>то её называют <em>второй производной </em>функции  <em>f  </em>и обозначают <img style="vertical-align: middle;" src="http://www.lomonosov-fund.ru/enc/file/?objectId=30595&trim_x=50&trim_y=50" alt="" /> <em>.  </em>Аналогично определяются производные любого натурального порядка.</p> <p>Термины «производная» и «вторая производная» ввёл в 1797 году Ж. Лагранж, хотя аналогичными понятиями ранее пользовались И. Ньютон, Г. Лейбниц и другие математики.</p> <p>Центральное понятие интегрального исчисления – <em>интеграл. </em>Его возникновение связано с двумя задачами: восстановление функции по её производной и вычисление площади под графиком функции. Указанные задачи приводят к двум видам интеграла – <strong>неопределённому</strong> и <strong>определённому</strong>.</p> <p><strong>Неопределённым интегралом</strong> функции  <em>f  </em>на отрезке (или интервале) называется совокупность всех первообразных функции  <em>f  </em>– таких функций  <em>F</em>,  что  <img style="vertical-align: middle;" src="http://www.lomonosov-fund.ru/enc/file/?objectId=30598&trim_x=50&trim_y=50" alt="" />  на указанном отрезке (или интервале). При этом любые две первообразные отличаются на постоянную. Обозначается неопределённый интеграл символом  <img style="vertical-align: middle;" src="http://www.lomonosov-fund.ru/enc/file/?objectId=30599&trim_x=50&trim_y=50" alt="" /> Каждая непрерывная на отрезке (или интервале) функция  <em>f  </em>имеет первообразную, а значит, неопределённый интеграл. Существуют различные обобщения этого понятия.</p> <p><strong>Определенным интегралом</strong> от функции  <em>f  </em>на отрезке [<em>a,</em><em>b</em>] в случае, когда  <em>f  </em>определена на [<em>a,</em><em>b</em>] и имеет на нём первообразную  <em>F,</em>  называют  <em>F</em>(<em>b</em>) – <em>F</em>(<em>a</em>), т.е. приращение  <em>F  </em>на отрезке  [<em>a,</em><em>b</em>].  Обозначают определённый интеграл символом  <img style="vertical-align: middle;" src="http://www.lomonosov-fund.ru/enc/file/?objectId=30603&trim_x=50&trim_y=50" alt="" />  Указанное понимание определенного интеграла обычно связывают с именем   И. Ньютона.  Другое определение через предел <a href="/enc/ru/encyclopedia:0130953"><em><span>интегральных сумм</span></em></a> в случае непрерывных функций дал в 1823 году О. Коши, а в случае произвольных функций в 1853 Б. Риман. Определённый им интеграл стали называть <em><a href="/enc/ru/encyclopedia:0130911"><span>интеграл Римана</span></a>. </em>Если функция  <em>f  </em>на отрезке  [<em>a,</em><em>b</em>]  интегрируема в смысле Римана и имеет на  [<em>a,</em><em>b</em>]  первообразную  <em>F,  </em>то определения Ньютона и Римана приводят к одинаковому результату, т.е. верна формула <img style="vertical-align: middle;" src="http://www.lomonosov-fund.ru/enc/file/?objectId=30604&trim_x=50&trim_y=50" alt="" />  которую называют формулой Ньютона-Лейбница. Существуют многочисленные обобщения понятия определённого интеграла, наиболее часто применяемым в математике является предложенное  в 1902 году А. Лебегом обобщение, которое называют интегралом Лебега.</p> <p>Математический анализ до XVII представлял собой совокупность решений разрозненных частных задач; например, задачи на вычисление площадей фигур и объёмов тел с кривыми границами, работы переменной силы и т.д. Каждая задача или группа задач решалась своим методом, часто сложным и громоздким. Математический анализ в его современном понимании начал создаваться в XVII-XVIII веках в трудах И. Ньютона, Г. Лейбница, Л. Эйлера и других учёных. В XIX веке были четко сформулированы и изучены его основные понятия <em>– </em>предел, производная, <em><a href="/enc/ru/encyclopedia:0130885"><span>касательная</span></a>, дифференциал</em>, интеграл, которые в дальнейшем в XX веке обобщались и развивались. Для современного математического анализа характерно, что после строгого обоснования своих основных понятий и строгих доказательств основных утверждений о них можно решать разнообразные задачи теоретического и прикладного характера при помощи достаточно простых и чётких алгоритмов.</p> <p>Из российских математиков в развитие математического анализа в XIX веке значительный вклад внесли М.В. Остроградский и П.Л. Чебышев, а в XX веке большой вклад в разные разделы математического анализа внесли математики московской  математической школы, которую создали в 1920-ые годы в Московском университете Д.Ф. Егоров и Н.Н. Лузин.</p>

Описание изменения: