Зарегистрироваться

Дифференциальные уравнения

Категории Дифференциальные уравнения | Под редакцией сообщества: Математика

Эта версия статьи от 10 Декабрь 2010 15:01, редактировал Сергеев Игорь Николаевич
Список всех версий Перейти к списку версий
Перейти к последней версии

Дифференциальное уравнение — равенство, связывающее какую-либо производную неизвестной функции в каждой точке со значениями самой этой функции и других ее производных в той же точке. Наибольший порядок входящих в уравнение производных искомой функции называется порядком этого уравнения.

Термин «дифференциальные уравнения» был предложен Г. Лейбницем в 1676 г., а первые исследования дифференциальных уравнений были проведены в конце XVII в. в связи с изучением проблем механики и некоторых геометрических задач.

 

Значение дифференциальных уравнений

Большое значение имеют дифференциальные уравнения как для различных разделов самой математики, так и для ее приложений: в механике, физике, технике, химии, биологии, экономике и т. д. Это объясняется тем, что к решению таких уравнений сводится исследование многих задач окружающего мира, в которых обнаруживается связь между какими-либо величинами и количественными их изменениями, возникающими при изменении времени, координат или других параметров.

Приведем примеры.

1. Если на точечное тело единичной массы действует сила , зависящая только от координаты этого тела, то для него получаем уравнение Ньютона

.

Решив это уравнение второго порядка, можно найти координату тела как функцию времени .

2. Для описания взаимодействия двух биологических популяций, одна из которых (численностью в момент t) является хищником по отношению к другой, жертве (численностью ), используется простейшая модель Лотка — Вольтерра

.

Согласно приведенной системе дифференциальных уравнений, в природе этого взаимодействия имеется естественное положение равновесия, около которого и совершают периодические колебания численности хищников и жертв. Данная модель позволяет делать правильные прогнозы об этих численностях, следя тем самым за экологией.

3. Уравнение, описывающее распространение волн на поверхности воды, имеет вид

,

где — вертикальное отклонение (от фиксированной плоскости) точки колеблющейся поверхности воды с координатами x и y в момент t. Это уравнение называется волновым.

 

Основные типы дифференциальных уравнений

Все дифференциальные уравнения делятся на два основных типа: обыкновенные дифференциальные уравнения, в которых неизвестная функция зависит от одной переменной (скалярной), и уравнения в частных производных, или уравнения математической физики — с неизвестной функцией, зависящей от нескольких переменных (или, что то же, от одной, но векторной переменной). Сама искомая функция также может принимать векторные значения — тогда для ее координат уравнение переписывается в виде системы.

Специальный раздел дифференциальных уравнений посвящен уравнениям с запаздывающим (или, вообще, с отклоняющимся) аргументом, к которым сводятся некоторые прикладные задачи, учитывающие эффект запаздывания срабатывания исполнительного устройства. В таких уравнениях производная решения в точке t выражается через значение решения не в той же точке, а в точке :

.

Решением дифференциального уравнения называется функция, определенная в некоторой области (в случае функции одной переменной — на интервале) и обращающая это уравнение в тождество, для чего она должна быть дифференцируемой достаточное число раз. Нередко решение такого уравнения называют интегралом, а нахождение всех его решений — интегрированием дифференциального уравнения.

Когда уравнение, используемое для описания реального процесса, уже выведено, возникает вопрос о постановке задачи для этого уравнения, имеющей однозначное решение.

Обыкновенное дифференциальное уравнение имеет, как правило, целое семейство решений. Из них выбирают то решение, которое удовлетворяет определенным дополнительным условиям. Так, в случае тела, движущегося под действием данной силы, основываясь на механических соображениях, можно фиксировать решение, задав его начальное положение и начальную скорость .

Аналогичные задачи ставятся и для уравнений в частных производных. Так, волновое уравнение в ограниченном водоеме круглой формы приводит к следующим условиям

  (),

, , ,

где последняя производная берется по направлению нормали к границе единичного круга в ее точке . Эта задача называется смешанной, так как она имеет как начальные (при ) условия, так и краевые (на границе области ).

 

Теории дифференциального уравнения

Важную роль в теории дифференциальных уравнений играют теоремы существования и единственности решения дифференциального уравнения. Они позволяют заранее понять, правильно ли поставлена задача для описания реального явления: имеет ли она решение и не слишком ли много у нее решений. Иными словами, задача может оказаться как переопределенной, так и недоопределеной — и то и другое является недостатком при ее исследовании.

Не менее важным является также и, казалось бы, сугубо теоретический вопрос о корректности самой задачи, а именно: не могут ли малые изменения параметров задачи привести к скачкообразному изменению ее решения. Ответ на этот вопрос в случае задачи Коши для обыкновенного дифференциального уравнения, к счастью, отрицателен на любом конечном отрезке времени.

Если же следить за изменениями решений на всей полуоси, то ситуация оказывается гораздо более сложной и запутанной. Вопрос о корректности задачи Коши в этом случае является ключевым для теории устойчивости движения, которая составляет важную часть качественной теории дифференциальных уравнений.

Целый ряд дифференциальных уравнений можно проинтегрировать явно. Однако, во-первых, этот ряд слишком далек от полного. Во-вторых, полученные формулы для решений порой бывают слишком трудными для исследования. В этом случае на помощь также приходит качественная теория, позволяющая получать конкретные выводы о свойствах решений, не решая самого уравнения.

Другой подход к дифференциальным уравнениям связан с численными методами, благодаря которым, используя компьютеры, удается найти решение с любой наперед заданной точностью.

Для нахождения решений дифференциальных уравнений помогают связи с другими областями математики, такими как теория функций, спектральная теория (операторов), оптимальное управление, дифференциальная геометрия и др.

Эта статья еще не написана, но вы можете сделать это.