Дифференциальные уравнения
Дифференциальное уравнение — равенство, связывающее какую-либо производную неизвестной функции в каждой точке со значениями самой этой функции и других ее производных в той же точке. Наибольший порядок входящих в уравнение производных искомой функции называется порядком этого уравнения.
Термин «дифференциальные уравнения» был предложен Г. Лейбницем в 1676 г., а первые исследования дифференциальных уравнений были проведены в конце XVII в. в связи с изучением проблем механики и некоторых геометрических задач.
↑Значение дифференциальных уравнений
Большое значение имеют дифференциальные уравнения как для различных разделов самой математики, так и для ее приложений: в механике, физике, технике, химии, биологии, экономике и т. д. Это объясняется тем, что к решению таких уравнений сводится исследование многих задач окружающего мира, в которых обнаруживается связь между какими-либо величинами и количественными их изменениями, возникающими при изменении времени, координат или других параметров.
Приведем примеры.
1. Если на точечное тело единичной массы действует сила , зависящая только от координаты этого тела, то для него получаем уравнение Ньютона
.
Решив это уравнение второго порядка, можно найти координату тела как функцию времени .
2. Для описания взаимодействия двух биологических популяций, одна из которых (численностью в момент t) является хищником по отношению к другой, жертве (численностью ), используется простейшая модель Лотка — Вольтерра
.
Согласно приведенной системе дифференциальных уравнений, в природе этого взаимодействия имеется естественное положение равновесия, около которого и совершают периодические колебания численности хищников и жертв. Данная модель позволяет делать правильные прогнозы об этих численностях, следя тем самым за экологией.
3. Уравнение, описывающее распространение волн на поверхности воды, имеет вид
,
где — вертикальное отклонение (от фиксированной плоскости) точки колеблющейся поверхности воды с координатами x и y в момент t. Это уравнение называется волновым.
↑Основные типы дифференциальных уравнений
Все дифференциальные уравнения делятся на два основных типа: обыкновенные дифференциальные уравнения, в которых неизвестная функция зависит от одной переменной (скалярной), и уравнения в частных производных, или уравнения математической физики — с неизвестной функцией, зависящей от нескольких переменных (или, что то же, от одной, но векторной переменной). Сама искомая функция также может принимать векторные значения — тогда для ее координат уравнение переписывается в виде системы.
Специальный раздел дифференциальных уравнений посвящен уравнениям с запаздывающим (или, вообще, с отклоняющимся) аргументом, к которым сводятся некоторые прикладные задачи, учитывающие эффект запаздывания срабатывания исполнительного устройства. В таких уравнениях производная решения в точке t выражается через значение решения не в той же точке, а в точке :
.
Решением дифференциального уравнения называется функция, определенная в некоторой области (в случае функции одной переменной — на интервале) и обращающая это уравнение в тождество, для чего она должна быть дифференцируемой достаточное число раз. Нередко решение такого уравнения называют интегралом, а нахождение всех его решений — интегрированием дифференциального уравнения.
Когда уравнение, используемое для описания реального процесса, уже выведено, возникает вопрос о постановке задачи для этого уравнения, имеющей однозначное решение.
Обыкновенное дифференциальное уравнение имеет, как правило, целое семейство решений. Из них выбирают то решение, которое удовлетворяет определенным дополнительным условиям. Так, в случае тела, движущегося под действием данной силы, основываясь на механических соображениях, можно фиксировать решение, задав его начальное положение и начальную скорость .
Аналогичные задачи ставятся и для уравнений в частных производных. Так, волновое уравнение в ограниченном водоеме круглой формы приводит к следующим условиям
(),
, , ,
где последняя производная берется по направлению нормали к границе единичного круга в ее точке . Эта задача называется смешанной, так как она имеет как начальные (при ) условия, так и краевые (на границе области ).
↑Теории дифференциального уравнения
Важную роль в теории дифференциальных уравнений играют теоремы существования и единственности решения дифференциального уравнения. Они позволяют заранее понять, правильно ли поставлена задача для описания реального явления: имеет ли она решение и не слишком ли много у нее решений. Иными словами, задача может оказаться как переопределенной, так и недоопределеной — и то и другое является недостатком при ее исследовании.
Не менее важным является также и, казалось бы, сугубо теоретический вопрос о корректности самой задачи, а именно: не могут ли малые изменения параметров задачи привести к скачкообразному изменению ее решения. Ответ на этот вопрос в случае задачи Коши для обыкновенного дифференциального уравнения, к счастью, отрицателен на любом конечном отрезке времени.
Если же следить за изменениями решений на всей полуоси, то ситуация оказывается гораздо более сложной и запутанной. Вопрос о корректности задачи Коши в этом случае является ключевым для теории устойчивости движения, которая составляет важную часть качественной теории дифференциальных уравнений.
Целый ряд дифференциальных уравнений можно проинтегрировать явно. Однако, во-первых, этот ряд слишком далек от полного. Во-вторых, полученные формулы для решений порой бывают слишком трудными для исследования. В этом случае на помощь также приходит качественная теория, позволяющая получать конкретные выводы о свойствах решений, не решая самого уравнения.
Другой подход к дифференциальным уравнениям связан с численными методами, благодаря которым, используя компьютеры, удается найти решение с любой наперед заданной точностью.
Для нахождения решений дифференциальных уравнений помогают связи с другими областями математики, такими как теория функций, спектральная теория (операторов), оптимальное управление, дифференциальная геометрия и др.
Выходные данные:
- Просмотров: 131
- Комментариев: 0
- Опубликовано: 10.12.2010
- Версий: 14 , текущая: 14
- Статус: пользовательская
- Рейтинг: 100.0
Автор:
Сергеев Игорь Николаевич
- профессор; доктор физико-математических наук
- Редактор
Ссылки отсюда
Ссылки сюда
Категории:
Автоматика и управление; Алгебра; Кристаллохимия; Математика; Математическая физика; Небесная механика; Теоретическая химия; Теория чисел;
Детализирующие понятия:Диссипативные структуры; Интегрирование дифференциального уравнения; Качественная теория дифференциальных уравнений; Локсодрома; Математические модели физических явлений, основанные на интегральных уравнениях; Математические модели физических явлений, основанные на линейных дифференциальных уравнениях; Математические модели физических явлений, основанные на нелинейных дифференциальных уравнениях; Моделирование; Моделирование; Наноматериалы и нанотехнологии; Обыкновенные дифференциальные уравнения; Роль вычислительного эксперимента в создании и верификации математической модели физического явления; Сложность булевых функций; Случайные процессы; Строительная механика; Теоремы существования и единственности; Трансцендентное число; Уравнения в частных производных (уравнения математической физики); Экономико-математическая модель.