Математические методы в экономике

Математические методы в экономических исследованиях используются, начиная с 18 века. Систематическое применение математических методов для описания и решения экономических задач относят ко второй половине 19 века. Тогда же понятие экономического равновесия стало одним из центральных экономических понятий. Некоторое время процесс взаимодействия математических методов и экономической проблематики был несколько односторонним: экономисты активно использовали различные математические результаты для анализа и решения своих задач, мало что возвращая в математику взамен.

Однако потом (к 1940-м годам 20 века) ситуация стала более сбалансированной: под давлением содержательной экономической проблематики стали формироваться или развиваться новые разделы математики: линейное программирование, теория игр, выпуклый анализ. Важным явлением в траектории математических методов экономики следует признать появление понятия динамического равновесия и его связь с теорией динамической оптимизации (магистральное свойство оптимальных траекторий).

Помимо важных теоретических результатов с помощью математических методов были построены вычислительные алгоритмы, которые позволили быстро выполнять большие объемы вычислительных работ.

Начиная со второй половины 20 века, спектр математических методов был значительно расширен в целях описания и решения задач, связанных с учетом экономического и социального факторов, а также с рынком ценных бумаг и с рынком страхования.

Математические и инструментальные методы экономики использовались и используются для решения разнообразных задач экономической теории и хозяйственной практики. Принято считать, что одним из первых авторов, применивших математическое построение в экономических исследованиях был французский врач и экономист Кенэ Ф. (Франсуа Кенэ, 1694 – 1774), основатель школы экономистов, называемых «физиократами», которые пользовались во Франции огромной популярностью в середине 18 века. Кенэ Ф. построил «экономическую таблицу» в виде зигзагообразной диаграммы, в которой затраты-выпуски выражались в терминах денежных потоков.

Многие поздние экономисты ( Смит А., Маркс К., Шумпетер Й) высоко ценили положения, выдвинутые Кенэ Ф.

Курно А. (Антуан О. Курно, 1801 – 1877) другой исследователь, который опередил свое время. Математик, философ, экономист (и администратор в области университетского образования) он был первым, кто дал определение функции спроса, нарисовал её график, всерьез применил в экономической теории дифференциальное исчисление для решения задач максимизации.

Основной труд Курно А. «Исследования о математических основаниях теории богатства» (1838 г.), после первого выхода в свет, совершенно не заметили. Это обескуражило Курно А., который перестал заниматься экономической наукой 25 лет. В более поздних работах по экономике Курно А. отказался использовать математический язык. В то же время, Курно А. был хорошо известен современникам как автор ряда книг по дифференциальному исчислению, теории вероятностей, а также двух трактатов по философии. Модель олигополии (дуополии) Кюро А. занимает едва ли не главное место во всех учебниках по микроэкономике как прекрасный образец четкого и глубокого описания олигополии (дуополии) с использованием математических методов.

Начало систематического использования математических методов в экономических исследованиях совпадает с появлением математической школы в экономической теории. Представители математической школы в разных городах и странах не были объединены каким-либо семинаром или научным кружком. Основными представителями математической школы были Вальрас Л. (Швейцария), Парето В. (Италия), Джевонс У.С., Эджуорт Ф. (Соединенное Королевство), Фишер И. (США), Кассель Г., Виксель К. (Швеция). К представителям Математической школы следует отнести и русского экономиста Дмитриева В.К. К середине 20 века понятие Математическая школа утрачивает свою прежнюю обособленность в связи с быстрым развитием эконометрики и математической экономики.

Вальрас Л. В середине второй половины 19 в. ввел понятие общего экономического равновесия, которое было статическим, и предложил модель общего экономического равновесия народного хозяйства. Она определила на долгие годы траекторию взаимодействия математики с экономической теорией, сделав понятие равновесия основополагающим. Вербальное пояснение общего экономического равновесия для модифицированной модели дано понятие модели Вальраса- Эрроу- Дебре.

Основу модели Вальраса составляют микроэкономические показатели, характеризующие производство и распределение отдельных продуктов, а не макроэкономические показатели типа валового национального продукта, инфляции, безработицы, которые в дальнейшем составили понятийную основу той версии макроэкономической теории, которую предложил Кейнс Дж. Пользуясь современным языком, можно сказать, что модель общего экономического равновесия Вальраса Л. Была, по существу, первой многопродуктовой многосекторной статистической моделью народного хозяйства.

На посту руководителя кафедры политической экономии университета в г. Лозанна (Швейцария) на рубеже 19 и 20 веков Вальраса сменил Парето В. (Италия), которому принадлежит выдающееся по своей значимости понятие – Парето-эффективности (Парето-оптимальности, эффективности по Парето): распределение благ между членами общества Парето-эффективно, если строгое увеличение благосостояния любого члена общества сопровождается строгим уменьшением благосостояния каких-либо других членов общества. Следует отметить, что концепция Парето-эффективности встречается у Эджуорта Ф., правда не в таком виде, что её можно заметить, не зная о ней из работ Парето В.

Как и модель Вальраса Л., статическая модель «затраты-выпуск» американского экономиста Леонтьева В. представляет собой систему линейных алгебраических уравнений с технологическими коэффициентами, которые равны затратам одних отраслей на производство продукции другими отраслями. Статическая модель «затраты-выпуск», предложенная в 30-е годы 20 века Леонтьевым В. имела в качестве предшественника также межотраслевой баланс Советской России, построенный впервые в середине 20-х годов 20 века группой из 11 российских экономистов. С 30-х по середину 50-х годов 20 в. в СССР межотраслевые исследования не проводились.

После публикации основ метода «затраты-выпуск» Леонтьев В. обратил особое внимание на эмпирическую проверку и дальнейшее развитие методологических предпосылок метода «затраты-выпуск». До появления ЭВМ исследования по методу «затраты-выпуск» касались только экономико-статистического анализа межотраслевых связей в связи с тем, что невозможно было решать вручную системы линейных алгебраических уравнений достаточно большой размерности. С конца 40-х годов 20 века метод «затраты-выпуск» получил широкое распространение во многих странах мира как средство анализа экономической структуры национальных и региональных систем на базе использования современных (для своего времени) методов вычислительных средств. Матричная модель техпромфинплана предприятия воспроизводит применительно к предприятию идею матричного построения межотраслевого баланса.

Предложив конструкцию своего инвестиционного блока, Леонтьев В. преобразовал статическую межотраслевую модель в динамическую с лагом капитальных вложений продолжительностью равной одному году. Разнообразные модификации динамической межотраслевой модели были построены иными отечественными и зарубежными авторами. Большой интерес представляют версии динамической межотраслевой модели с лагом капитальных вложений продолжительностью более одного года, предложенные в СССР (Гаврилец Ю.Н., Михалевский Б.Н., Лейбкинд Ю.Р.) и в Норвегии (Йохансен Л.). Эти модели в структурном отношении более адекватны реальности по сравнению с моделями, имеющими лаг, равный одному году, однако, с точки зрения комплексной адекватности, учитывающей не только структурную, но и информационную составляющую, ситуация не столь однозначна, учитывая серьезные трудности с оценкой матриц с распределенным лагом на базе реальных данных.

Важный вопрос о существовании общего экономического равновесия в модели Вальраса Л. был открытым до 1954 г., когда в журнале « Эконометрика» была опубликована статья Эрроу К. и Дебре Ж. «Существование равновесия в конкурентной экономике», в которой была предложена совершенная (по тому времени) версия модели общего экономического равновесия Вальраса Л. (Модель Эрроу-Дебре) и строгое доказательство существования общего равновесия с использованием понятия точечно-множественного отображения и теоремы японского математика Какутани Ш. о неподвижной точке этого отображения.

Публикация этой статьи положила конец эпохи, в которую, грубо говоря, у экономистов был некий комплекс неполноценности перед естественниками относительно уровня применяемого математического аппарата. Теперь естественники стали признавать, что экономисты могут по существу использовать свежий математический аппарат в своих исследованиях.

В модели Эрроу-Дебре две сферы: производственная и потребления – конечное число продуктов (r), фирм (n) и потребителей (m). Каждая фирма имеет ограниченное технологическое множество и максимизирует свою прибыль. Каждый потребитель максимизирует свою функцию полезности при бюджетном ограничении, в котором доход складывается из дивидендов, получаемых потребителем с каждой фирмы.

Общее экономическое равновесие – это цены равновесия, ориентируясь на которые каждая фирма и каждый потребитель решает свою задачу максимизации, а также все локальные рыночные равновесия всех фирм и всех потребителей. И, при этом, в моделируемой системе не будет дефицита ни по одному продукту, что означает, что в равновесии по существу спрос равен предложению, в чем, в свою очередь и есть суть равновесия. В статье Эрроу К. и Дебре Ж. общее экономическое равновесие выступает в виде неподвижной точки специально построенного точечно-множественного отображения.

Активность взаимодействия содержательных экономических задач и привлекательность математического аппарата сначала в значительной мере была односторонней. Экономисты использовали математические результаты из разных разделов математики: математического анализа (прежде всего дифференциальное и интегральное исчисления, метод Лагранжа), линейной алгебры (системы линейных алгебраических уравнений, теория линейных пространств, теория матриц), теории вероятностей и математической статистики, дифференциальных и разностных уравнений, вариационного исчисления, теории оптимального управления, динамического программирования, теории графов, математической логики.

С конца 30-х годов 20 века в математике под давлением экономической проблематики появляются новые разделы. Прежде всего, это линейное программирование, которое как математическая дисциплина постепенно превращается в нелинейное программирование, в теорию экстремальных задач, в блочное программирование, дискретное программирование, параметрическое программирование, в стохастическое программирование. Далее можно назвать выпуклый анализ и теорию игр как дисциплины, прогресс в развитии которых частично обусловлен и давлением экономических задач.

Линейное программирование с прогрессом в развитии ЭВМ и cистем баз данных превратилось по существу в «народное» (для экономистов) средство решения разнообразных прикладных линейных задач на экстремум.

В 1945 г. был опубликован английский перевод (с немецкого) статьи Дж. Фон Неймана «Модель общего экономического равновесия», которая сыграла решающую роль в становлении и развитии теории экономической динамики в случае многопродуктовых и многосекторных моделей.

Здесь общее экономическое равновесие определяется с помощью стационарных траекторий интенсивности использования основных процессов и цен на продукты. Стационарность означает постоянство структуры траекторий и постоянный темп падения цен. Динамическое равновесие играет важную роль в анализе траекторий многосекторных и многопродуктовых динамических моделей.

Модель Дж. Фон Неймана состоит из двух сфер: производственной и матричной. Задается в матричной форме с помощью матриц затрат и выпуска. Эту модель также можно задать с помощью многогранного конуса в пространстве, образуемом пространством затрат и пространством выпусков. Такой конус представляет собой постоянное по времени технологическое множество модели. Однако вместо многогранного конуса модель можно задать с помощью «круглого конуса», от которого переход к матричной конструкции невозможен. Соответствующая модель была предложена Гейлом Д. (США), она представляет собой обобщение модели Дж. Фон Неймана.

В моделях Дж. Фон Неймана и Гейла Д. конусы, т.е. технологические множества, не меняются во времени, что означает, что означает, что в этих моделях не учитывается научно-технологический прогресс. Его можно учесть в экзогенной форме путем использования переменных во времени конусов, т.е. технологических множеств моделей.

Динамическая межотраслевая модель с лагом капитальных вложений продолжительностью, равной одному году и более, может быть преобразована так, что ее матрицы образуют матричные агрегаты, которые формально соответствуют матрицам затрат и выпуска модели Дж. Фон Неймана, что означает, что эта модель может играть роль каркаса, охватывающего в качестве частного случая разнообразные динамические межотраслевые модели.

Большое и важное место в исследовании экономической динамики занимают сильно агрегированные модели с производственными функциями. Можно выделить три периода развития моделирования экономического роста на основе сильно агрегированных моделей. Первый связан с работами Харрода Р.Ф. и Домара Е. конца 30-40-х годов 20 века. Они пытались соединить кейнсианский анализ с элементами экономического роста, и их результаты в настоящее время практически не востребованы. Второй период связан с работами Солоу Р. (1956 г.) и Свана Т.У. (1956 г.), в которых была использована неоклассическая форма производственной функции, которая предполагает постоянную отдачу от масштаба, уменьшающуюся отдачу от фактора и положительную эластичность замены факторов. В неоклассической модели роста темп долгосрочного роста капиталовооруженности привязан к темпу экзогенного научно-технического прогресса. Необходимо, чтобы новые достижения определили долговременный темп роста внутри модели, т.е. требуется создание моделей экзогенного роста. Третий период связан с работами Ромера П.М. (1986) и Лукаса Р.Е. (1988) и благодаря появлению все новых работ, посвященных моделированию экзогенного экономического роста, учету в моделях роста наряду с производственным сектором сектора НИОКР, образования, экологического и социального факторов продолжается до сих пор. Современные модели экономического роста имеют форму задач оптимального управления с целевым функционалом типа максимизации и дисконтированного суммарного душевого потребления, а также форму задачи Коши для систем обыкновенных дифференциальных уравнений.

На основании моделей экономического роста разными авторами было в разное время выявлено большое число работ по определению оптимальных траекторий равновесия на базе реальных и экспертных данных. Результаты многих исследований показали высокий их уровень, что свидетельствовало о том, что модели экономического роста достаточно адекватны тем фрагментам экономической реальности, для исследования которых они строились.

Много расчетов на базе реальных и экспертных данных в разных странах было выполнено на основании статических и динамических межотраслевых моделей.

До 1991 г., в органах государственной статистики СССР и союзных республик действовали матрицы прямых затрат и матрицы основного производственного капитала, на основании которых строились вычислимые динамические межотраслевые модели, результаты расчетов по которым использовались для решения задач анализа, планирования и прогнозирования на народохозяйственном и региональном уровнях. Из зарубежных стран в Японии и во Франции в практике индикативного планирования активно используются результаты расчетов на основе межотраслевых балансов большой размерности (с числом отраслей 100 и более).

Значительное место в математическом моделировании экономических отношений и процессов занимают так называемые качественные исследования решений математических моделей, т.е. исследования характерных свойств решений без явного знания этих решений. Это относится, прежде всего, к решениям динамических моделей, которые называются траекториями. Результаты качественных исследований представляют прежде всего теоретический интерес. Например, качественные исследования оптимальных траекторий сильно агрегированных и многопродуктовых и многосекторных моделей. Характер поведения этих траекторий во времени в случае продолжительных временных промежутков: оптимальная траектория состоит из трех участков, главным из которых является второй, который по существу представляет собой траекторию максимального постоянного пропорционального роста, которая расположена на луче, называемом магистралью. Первый участок оптимальной траектории – участок перехода от исторически обусловленного начального вектора к магистрали, а третий участок демонстрирует отход оптимальной траектории от магистрали к ее терминальному вектору. Описанный результат демонстрирует максимальный постоянный пропорциональный рост в качестве эндогенного эффекта в поведении оптимальной траектории. Магистральное свойство позволяет строить траектории, аппроксимирующие оптимальные, упрощает проблему сглаживания «ухабистых» участков оптимальных траекторий, строить приемлемое решение так называемой «проблемы хвоста». Суть этой проблемы в том, что в последние периоды временного промежутка в оптимальной траектории процессы накопления элиминируются, а текущее потребление становится неадекватным реальности в связи с тем, что последний период временного промежутка является «концом света» динамической модели.

Для анализа и прогнозирования динамики населения, в том числе под воздействием экономических, экологических, социальных, политических и других факторов строятся демографические модели. Для решения многих задач анализа и прогнозирования производства, важное значение имеют результаты расчетов на основе моделей численности населения, которые включают модель передвижки возрастов, показательную модель, логистическую модель, модель стационарного населения.

Важную роль в моделировании экономических состояний и процессов играет учет экологического фактора как в сильно агрегированных моделях экономического роста, так и в многопродуктовых и многосекторных статистических и динамических моделях. Многие авторы применяют в сильно агрегированных моделях специальные индексы, отражающие изменение показателей, характеризующих состояние экологии и социальной сферы. Экономический и социальный индексы строятся исходя из доступной статистической информации по показателям, характеризующим загрязнение окружающей среды и развитие социальной сферы. Более конкретно экологический индекс характеризует относительное изменение состояния окружающей среды в связи с изменением массы выбросов в атмосферу загрязняющих веществ от стационарных источников, площади нарушенных в результате хозяйственной деятельности земель, объемов сброшенных загрязненных вод по сравнению с базовым годом. Экологический индекс растет при уменьшении загрязнений окружающей среды и уменьшается, если объем загрязнений увеличивается. Принцип построения социального индекса аналогичен.

В статической межотраслевой модели учитывать экологический фактор предложили американские авторы Леонтьев В. и Форд Д. В динамической межотраслевой модели - японские авторы Цукуи Дж. И Мураками Й. Суть основной идеи японских авторов состоит в построении матриц дополнительных величин, которые приплюсовываются соответственно к матрицам прямых затрат, основного и оборотного производственного капитала, что, естественно «утяжеляет» первоначальную динамическую межотраслевую модель. Матрицы дополнительных величин формировались на реальных данных японской статистики, которые характеризовались высокой степенью детализации и вполне приемлемым качеством.

Со второй половины 20 века резко возросла значимость финансовой математики – совокупность математических методов и средств для расчетов, связанных с операциями на финансовых рынках, т.е. рынках ценных бумаг и финансовых услуг: расчет, анализ и оптимизация денежных потоков, возникающих при использовании разнообразных финансовых инструментов. Основными направлениями современной финансовой математики являются: математика процентов, внутренняя процентная ставка ( норма доходности), теория выбора инвестиционного портфеля, нормальная модель для курсов активов, логнормальная модель, обобщающая правило сложных процентов, теория производных финансовых инструментов (деривативов), модель Блэка-Шоулза (она позволяет получить явные формулы для цен опционов), метод биноминальных деревьев, принцип риск-нейтрального оценивания, модель временной структуры процентных ставок, прикладные модели финансовых процессов более тесные, чем логнормальная модель, эконометрические модели финансовых временных рядов.

Теория и практика актуарных расчетов относятся к количественной стороне страхового дела и представляют собой комплекс методов, используемых в страховой практике для описания рисков, их структуризации, адекватного учета и, насколько возможно, точной оценки. С начала 1970-х годов финансовый мир перешел к плавающим обменным курсам и рыночной цене золота. Этот переход привел к появлению новых источников неопределенности и новых типов рисков в функционировании как финансовых, так и страховых структур. Произошедшие изменения привели к появлению широкого спектра производных ценных бумаг (форвардов, фьючерсов, опционов). Традиционное страхование, как показал кризис глобальной неплатежеспособности страховой системы начала 1980-х годов, объективно не в состоянии справиться с возникающими проблемами. Среда функционирования страховых структур заставляет их «работать» на финансовых рынках. Отражение этого феномена - появление таких страховых инструментов, в которых страховые гарантии связываются с рыночной ценой акционерного капитала. Что касается подсчета страховых премий и резервов при таком «гибком» страховании, то делается это с помощью синтеза методов традиционной актуарной науки и стохастической финансовой математики. Компьютеризация, «клиентская прихоть» требуют от страховых компаний и пенсионных фондов таких финансовых инноваций, на которые они никак не согласились бы в 1980 – 1990 гг. Страховые фирмы стараются привлечь клиентов страховыми производными ценными бумагами, учитывающими характерные для страхования риски. Здесь проявляется связь финансовых и инновационных процессов, которая обусловливает появление в актуарных расчетах аналогов знаменитых в теории финансов уравнения Блэка-Шоулза.

В связи с резким повышением мощности компьютеров и тем обстоятельством, что многие прикладные экономико-математические модели не всегда отражают важные явления экономической реальности появился новый класс экономико-математических точнее компьютерных моделей, исследование которых проводится чисто экспериментальными методами. Такие модели называются имитационными, хотя границы этого понятия четко не определены. Термин имитационная модель появился в начале 1960-х годов. Основной режим взаимодействия пользователя (эксперта) с компьютером для исследования имитационной модели – это режим диалога. Одно течение в этом направлении – переход к многокритериальным человеко-машинным моделям, второе течение – перенос центра тяжести с моделей ориентированных на схему «условия-решение», на модели, дающие ответ на вопрос «что будет, если…?».

Литература

1. Экономико-математический энциклопедический словарь. М.: Большая Российская Энциклопедия, «Инфра-М», 2003.

2. Блауг М. 100 великих экономистов до Кейнса. СПб.: «Экономикус», 2008.

3. Блауг М. 100 великих экономистов после Кейнса. СПб.: «Экономикус», 2008.

4. О чем думают экономисты: Беседы с нобелевскими лауреатами/ Под ред. П. Самуэльсона и У. Барнетта, пер. с англ. – М.: Московская школа управления «Сколково», Альпина Бизнес Букс, 2009.

5. Barro R.J., Sala-i-Martin. Economic Growth. Second Edition. London, 2004.

6. Mas-Collel A., Winston M.D., Green J.R. Microeconomic Theory. Oxford University Press, 1995.