Зарегистрироваться

Логическое следование

Категории Логика | Под редакцией сообщества: Философия

Логическое следование – одно из фундаментальных отношений между высказываниями по форме, используемое для проверки правильности рассуждений. Логическое следование имеет место между множеством логических форм высказываний Γ и логической формой высказывания В (ΓВ), если и только если не существует такой интерпретации нелогических параметров, входящих в Γ и В, при которой все выражения из Γ принимают значение «истинно», а В – значение «ложно». Иными словами, всегда, когда выражения из Γ принимают значение «истинно», В тоже принимает значение «истинно».

Понятие логического следования лежит в основе всякой теории правильных рассуждений. Рассуждение (умозаключение) считается правильным, если и только если его посылки (Γ) и заключение (В) находятся в отношении логического следования, то есть из посылок логически следует заключение.

Введенное выше определение логического следования позволяет проверять правильность любых рассуждений при условии, что, во-первых, установлена процедура выявления логической формы, и, во-вторых, имеется эффективный способ приписывания значений нелогическим параметрам, позволяющий учесть все возможные их интерпретации. Обычно для обеспечения этих условий строятся логические теории (например, логика высказываний или логика предикатов), в которых дается конкретизация фундаментальных логических понятий (и логического следования в том числе) применительно к данной теории.

Если формула следует из пустого множества посылок, она является законом соответствующей логической теории (см. логический закон).

В классической логике существует определенная связь между импликацией и логическим следованием, выражаемая следующим соотношением: если и только если из формул А1, А2, … Аn логически следует формула В, то законом теории (тождественно-истинной формулой) будет формула (А1& А2& …& Аn) В. Правомерность этого соотношения вытекает как из определения логического следования и закона теории (тождественно-истинной формулы), так и из условия истинности импликативных формул.

При синтаксическом способе построения логического исчисления аналогом отношения логического следования является отношение выводимости. Отношение выводимости имеет место между формулой B и множеством формул Γ (ΓВ), если и только если существует логический вывод формулы B из множества формул Γ.

В приведенной выше классической трактовке логического следования легко усматриваются два не согласующихся с интуицией принципа. Если какое-то высказывание является логически необходимым (то есть его логическая форма принимает значение «истинно» при любой интерпретации входящих в него нелогических терминов), то оно само логически следует из любого высказывания. Если какое-то высказывание является логически невозможным (то есть его логическая форма принимает значение «ложно» при любой интерпретации), из него логически следует любое высказывание. Формально, если В – закон логической теории, то для всякой формулы А языка этой теории имеет место: 1) АВ и 2) ¬ВА. В самом деле, если некоторое высказывание таково, что его логическая форма (В) всегда принимает значение «истинно», то поставив его на место заключения в рассуждении с произвольными (возможно ложными или абсурдными) посылками, мы всегда будем иметь корректное утверждение о логическом следовании такого заключения из посылок – интерпретации, при которой посылки истинны, а заключение ложно, просто не существует. Точно также в случае трактовки логически невозможного высказывания (а таковым, очевидно, будет отрицание логически истинного высказывания – ¬В) в качестве посылки произвольного рассуждения в соответствии с определением логического следования исключается ситуация, когда посылки рассуждения истинны, а заключение ложно, и, следовательно, рассуждение оказывается правильным. Указанные принципы принято называть «парадоксами классического следования». Эти и другие парадоксы условной связи преодолеваются в одном из направлений неклассической логики, носящем название релевантной логики.

В различных системах неклассической логики определение логического следования требует уточнения, поскольку, во-первых, множество истинностных значений может включать более двух значений и/или не включать значений «истинно» и «ложно», а во-вторых, истинность и ложность формул искусственного языка могут задаваться независимо друг от друга. Для преодоления этих затруднений отношение логического следования обобщается, либо через введение множеств выделенных и анти-выделенных значений, играющих роль классических значений «истинно» и «ложно» соответственно, либо через упорядочивание (в строгом математическом смысле) множества истинностных значений. В последнем случае АВ, если и только если при любой интерпретации значение А меньше или равно значению В.

Рекомендуемая литература

Бочаров В. А., Маркин В. И. Основы логики, М., 1994

Эта статья еще не написана, но вы можете сделать это.