Дифференциал

Дифференциал – главная линейная часть приращения функции.

Если приращение функции  y=f(x)  одного переменного  x  в окрестности точки      можно представить в виде  ,  где  ,  а  член   бесконечно мал по сравнению с  ∆x,  т.е.  o(∆x) = γ(∆x) ∆x,  ,  то линейную часть  приращения  k∆x  называют дифференциалом функции  f  в точке    и обозначают  ,  а функцию  f  называют дифференцируемой в точке  . Дифференцируемость функции  f   в точке   эквивалентна существованию в точке    конечной производной,  при этом  .

Аналогично определяется дифференциал функции n  переменных в точке .  Если в окрестности точки    приращение функции можно представить в виде  ,   где  ,  i = 1,…,n,  а  член    бесконечно мал по сравнению с величиной , т.е. ,  ,  то линейную часть  приращения    называют дифференциалом функции  f  в точке    и обозначают  ,  а функцию  f  называют дифференцируемой в точке  . Дифференцируемость функции  f   в точке  влечёт существование в точке    конечных частных производных ,  i = 1,…,n.  Обратное утверждение неверно, но если все частные производные существуют в некоторой окрестности точки   и непрерывны в ней, то функция   f   дифференцируема в точке  .