Поверхность

Поверхность – это двумерное многообразие в трёхмерном евклидовом пространстве.  Основной объект изучения классической теории поверхностей, разработанной Гауссом и Монжем.

В классической дифференциальной геометрии различают три способа задания поверхностей:

1. простейший – это определить её как график функции z=f (x,y);
2. более общий – уравнением F(x,y,z) = 0;
3. параметрический: r=r (y,v) , т. е. x=x (u,v), y=y (u,v), z=z (u,v), где u, v– параметры, пробегающие какую-либо область в плоскости (u,v).

Говорят, что уравнение F(x,y,z) = 0 задаёт поверхность неособую в точке P=(x0, y0, z0), где F=(x0, y0, z0), если дифференциал функции F в точке P отличен от нуля. Точка P=(u0, v0) параметрически заданной поверхности называется неособой, если ранг матрицы Якоби отображения r=r(u,v) в этой точке равен двум. Согласно теореме о неявных функциях, в окрестности неособой точки все три способа задания поверхности эквивалентны.

Теория поверхностей занимается вычислением длин кривых и углов между кривыми на поверхности, изучением расположения поверхности в пространстве (кривизны нормальных сечений), связями между метрическими, геометрическими и топологическими характеристиками поверхности.

Литература:

Б. А. Дубровин, С. П. Новиков, А. Т. Фоменко (2000) Современная геометрия, т.1

П. К. Рашевский (1950) Курс дифференциальной геометрии