Зарегистрироваться

Плоскость Лобачевского

Категории Геометрия | Под редакцией сообщества: Математика

Плоскость Лобачевского (гиперболическая плоскость) – модель плоской неевклидовой геометрии, т.е. геометрии плоскости, в которой постулат о параллельных выполняется не в формулировке Евклида, а в формулировке Лобачевского: через точку, не лежащую на данной прямой, проходят по крайней мере две прямые, пересекающие исходную прямую. Эта геометрия отличается от привычной (евклидовой) геометрии. Например, сумма углов любого треугольника в ней меньше 180°, а любые две подобные фигуры – равны.

Я. Больяи (1832), К.Ф. Гаусс и Н.И. Лобачевский (1829) независимо пришли к выводу о существовании непротиворечивой геометрии с вышеуказанным постулатом. Расстояния между точками в плоскости Лобачевского отличаются от аналогичных расстояний в евклидовой плоскости. Однако Э.Бельтрами (1868) представил часть плоскости Лобачевского в виде части двумерной поверхности (псевдосферы Миндинга) в , так что длины кратчайших путей между точками поверхности равны расстояниям между соответствующими точками плоскости.

Существуют несколько моделей плоскости Лобачевского. В модели Ф. Клейна (1871) плоскостью Лобачевского служит внутренность круга, точки плоскости – это точки внутри круга, а прямым соответствуют хорды круга без концов. Движениями плоскости в модели Клейна являются проективные преобразования, переводящие круг в себя, а хорды в другие хорды. В этой модели расстояние между точками X и Y на хорде AB круга равно

где положительное число k – это параметр плоскости Лобачевского, аналогичный радиусу сферы. Гауссова кривизна плоскости Лобачевского постоянна, отрицательна и равна . Длина окружности радиуса r на плоскости Лобачевского равна   . Расходящиеся прямые на плоскости Лобачевского имеют единственный общий перпендикуляр, который реализует кратчайшее расстояние между точками выбранных прямых.

В модели А. Пуанкаре в круге (1882) точками плоскости Лобачевского являются точки внутри круга, а прямыми считаются дуги окружностей, перпендикулярных окружности данного круга. Движения плоскости в этой модели суть композиции инверсий относительно окружностей, перпендикулярных окружности данного круга. В модели Пуанкаре углы между пересекающимися прямыми совпадают с евклидовыми углами. Модель А. Пуанкаре в верхней полуплоскости получается из модели в круге с помощью инверсии относительно окружности с центром на границе круга. В модели А. Пуанкаре на гиперболоиде (1887) точки плоскости Лобачевского – это точки одной из полостей двуполостного гиперболоида, а прямые – это сечения полости плоскостями, проходящими через начало координат.

В специальной теории относительности считается, что скорость тел с ненулевой массой меньше скорости света и что пространство скоростей таких тел образует пространство Лобачевского (в модели Клейна). Преобразования Лоренца при переходе к другой системе координат суть движения пространства Лобачевского.

Рис. 1.   Псевдосфера Миндинга.

 

Рекомендуемая литература.

Лобачевский Н. И., Полн. собр. соч., т. 1-5, М.- Л., 1946-51;

Ефимов Н. В., Высшая геометрия, 6 изд., М., 1978;

Клейн Ф., Неевклидова геометрия, М.-Л.: ОНТИ, 1936.

Эта статья еще не написана, но вы можете сделать это.