Зарегистрироваться

Гладкое многообразие

Категории Геометрия | Под редакцией сообщества: Математика

Топологическим многообразием размерности n называется всякое хаусдорфово топологическое пространство, обладающее следующим свойством: каждая его точка имеет окрестность, гомеоморфную внутренности n-мерного шара, и всё пространство может быть представлено в виде объединения не более чем счётного множества таких окрестностей. Соответствующие гомеоморфизмы задают локальные координаты в окрестности точек многообразия. Координаты, заданные разными гомеоморфизмами в окрестности одной и той же точки, отличаются на так называемые функции перехода или функции склейки. Топологическое многообразие называется гладким, если все функции перехода – гладкие.

Понятие гладкого многообразия является одним из основных понятий современной математики. Оно возникает в результате экспликации и одновременного обобщения на высшие размерности интуитивного понятия поверхности, рассматриваемой безотносительно к её расположению в пространстве. Основные принципы этой экспликации заимствуются при этом из картографии.

Опишем еще один подход к определению структуры гладкого многообразия (эквивалентный первому). Пусть M – произвольное множество. Картой в M называется пара (U, h), где U – подмножество в M, а h – биективное отображение U в некоторое открытое множество пространства Rⁿ. Две карты (U, h) и (V, k) в M называются согласованными, если они либо не пересекаются, либо образы пересечения открыты в Rⁿ, и отображение перехода  k∙ h ˉ ¹ является диффеоморфизмом.

Множество согласованных карт, покрывающих всё M, называется атласом на M. Максимальный атлас А макс.– это атлас, состоящий из карт, согласованных с каждой картой произвольного атласа А. Максимальные атласы на M называются гладкими структурами. Множество M с заданной на нём гладкой структурой А макс. называется гладким многообразием.

Подчеркнём, что в определении гладкого многообразия входит число n – размерность пространства Rⁿ, содержащего образы h(U) носителей карт . Это число называется размерностью гладкого многообразия M.

Гладкие многообразия можно вкладывать в евклидово пространство подходящей размерности. Вложением называется гладкое отображение, дифференциал которого является мономорфизмом, отображение f взаимно-однозначно отображает многообразие на свой образ, и этот образ является замкнутым множеством. Как утверждается в теореме Уитни, любое гладкое компактное многообразие размерности nможно вложить в евклидово пространство размерности (2n +1).

Примером гладких одномерных многообразий могут служить прямая, парабола, окружность, эллипс, непрерывная кривая без самопересечений.

Примером двумерного многообразия может служить любая область на плоскости (например, внутренность круга x2 + y2 < r2), сама плоскость, параболоид, сфера, эллипсоид, тор и т. п. Двумерные многообразия характеризуются тем, что у каждой их точки имеется окрестность, гомеоморфная внутренности круга. Это требование исключает, например, из числа двумерных многообразий коническую поверхность (её вершина, в которой сходятся две её полости, не имеет требуемого вида окрестности). Однако выделяют специальный класс объектов, которые не удовлетворяют этому требованию, — т. н. многообразия с краем (например, замкнутый круг x2 + y2r2). Примером трёхмерного многообразия может служить обычное евклидово пространство, а также любое открытое множество в евклидовом пространстве. Трёхмерные многообразия  характеризуются тем, что у каждой их точки имеется окрестность, гомеоморфная внутренности шара.

 

Литература

М. М. Постников (1987). Гладкие  многообразия

А. С. Мищенко, А. Т. Фоменко (1980). Курс дифференциальной геометрии

Эта статья еще не написана, но вы можете сделать это.