Зарегистрироваться

Группа когомологий

Категории Геометрия | Под редакцией сообщества: Математика

Группа когомологий (де Рама) – векторное пространство, получаемое из кососимметричных тензорных полей на гладком многообразии с помощью операций дифференцирования и факторизации.

В теории гладких многообразий особую роль играют ковариантные кососимметричные тензоры в касательных пространствах к многообразию, гладко зависящие от точки касания. Группы когомологий де Рама определяются по последовательности (комплексу) пространств таких тензоров всех рангов как факторпространство тензоров ранга k с нулевым градиентом по пространству градиентов тензоров ранга k-1. Группы когомологий не меняются при непрерывных деформациях гладких многообразий.

В теориях гладких многообразий когомологии де Рама определяются через комплекс внешних дифференциальных форм: , где – это пространство кососимметрических тензоров ранга k типа (0,k) в касательных пространствах к многообразию M (т.е. внешних дифференциальных k-форм), а линейное отображение – градиент кососимметрических тензоров ранга k. В силу кососимметричности тензоров справедливо , т.е. образ пространства при отображении лежит в ядре отображения . Следовательно, существует факторпространство ядра по образу , которое называется группой когомологий де Рама размерности k в честь первооткрывателя Жоржа де Рама. Например, если взять в качестве многообразия окружность, то группы когомологий размерности 0 и 1 будут изоморфны группе вещественных чисел , а остальные группы когомологий будут тривиальны. Группа нульмерных когомологий любого гладкого многообразия, состоящего из k связных компонент изоморфна .

При гладком отображении гладких многобразий    группы когомологий отображаются в обратную сторону . Поэтому у диффеоморфных многообразий группы когомологий изоморфны. Два гомотопных отображения одного многообразия на другое индуцируют одинаковый гомоморфизм групп когомологий. Следовательно, гомотопически эквивалентные гладкие многообразия имеют одинаковые группы когомологий. Этот факт для случая евклидова пространства и точки известен как лемма А. Пуанкаре. Композиция тензорного произведения и альтернирования наделяют прямую сумму групп когомологий де Рама структурой кольца.

Теорема де Рама (1931) утверждает изоморфизм k-мерной группы когомологий де Рама и группы сингулярных когомологий размерности k для гладких компактных многообразий. При этом гомоморфизм групп когомологий определяется тем, что интеграл дифференциальной формы из группы k-мерных когомологий по k-мерной сингулярной цепи есть k-мерная сингулярная коцепь. Корректность данного определения гомоморфизма следует из теоремы Стокса, в силу которой интегралы от замкнутой дифференциальной формы по двум гомологичным сингулярным цепям равны. В теории алгебраических многообразий аналогичное определение групп когомологий де Рама дается при помощи комплекса регулярных дифференциальных форм. Если многобразие гладко и полно, a характеристика основного поля равна нулю, то группы когомологий де Рама совпадают с группами когомологий Вейля.

 

Рекомендуемая литература

1. Ботт, Р., Ту, Л.В. Дифференциальные формы в алгебраической топологии. – М.: Платон, 1997.

2. Дубровин Б. А., Новиков С. П., Фоменко А. Т. Современная геометрия: методы теории гомологий. – М.: Наука, 1984.

3. де Рам, Ж. Дифференцируемые многообразия = Varietes differentiables. – M.: КомКнига, 2006.

Эта статья еще не написана, но вы можете сделать это.