Зарегистрироваться

Математическая биология

Категории Математическая кибернетика | Под редакцией сообщества: Математика

Математическая биология – это теоретическая дисциплина, основывающаяся на математических моделях биологических процессов и явлений. Целью математической биологии является исследование биологических задач средствами математики (в том числе и компьютерными реализациями моделей). Результаты математической биологии имеют биологическую интерпретацию.

Математическая биология относится к прикладной математике. Вместе с тем, математическая биология породила некоторый круг моделей и математических конструкций, которые оказались интересными с чисто математической точки зрения. Эти конструкции, оторвавшись от породившего их субстрата – биологии, зажили своей собственной жизнью в математике, породив целые направления в исследованиях. В качестве примера можно привести однородные структуры, возникшие из целей моделирования явления самовоспроизведения живых существ. Другим важным направлением является теория автоматов, одним из истоков которой были нейронные сети. Распознавание образов и математические задачи в рамках этой теории в большей степени были порождены, пожалуй, потребностями техники, но в немалой степени присутствовала в этом и биологическая составляющая, поскольку на распознавании основывается восприятие окружающего мира живыми существами.

Модели в математической биологии можно разделить условно на две большие группы: первая – основывающаяся на аппарате непрерывной математики, и вторая – основывающаяся либо прямо на тех или иных разделах дискретной математики, либо, если можно так выразиться, дискретная по подходу.

К первой группе можно отнести, в первую очередь, то направление, которое было начато трудами В.Вольтерра по моделированию поведения биологических сообществ (модели "хищник-жертва"). Аналогичны по подходу модели в иммунологии, эпидемиологии, в ряде разделов моделей в физиологии, в частности, в моделях сердечно-сосудистой системы. В целом в рамках непрерывного подхода модель представляет собой, как правило, схему взаимодействующих компонент, влияние которых друг на друга описывается системой некоторых уравнений, чаще всего дифференциальных. Построение и исследование модели осуществляется обычно следующим образом. На первом этапе для моделируемого явления определяется система характеризующих его переменных и параметров (например, численность "хищников", численность "жертв", и т. п.). Затем, с использованием как общих законов, применимых в рассматриваемой ситуации, так и закономерностей, присущих только моделируемому явлению, формируется схема взаимодействий и составляются системы уравнений. Эта схема и системы уравнений и составляют модель. Чаще всего эти системы уравнений поддаются решению только с помощью численных методов. Затем проводится интерпретация полученных результатов.

Вторая группа моделей – дискретная по подходу. В уже упоминавшихся нейронных сетях исходили из следующих посылок. Нейронная сеть (нервная система) есть устройство, состоящее из конечного числа нейронов. Представляем (сильно упрощая) нейрон тоже в виде устройства (формального нейрона), являющегося, по сути, пороговым элементом. Определяем правила соединения этих формальных нейронов в некоторые совокупности – нейронные сети. Далее изучаем, какие входно-выходные соответствия реализуются в таких устройствах, и какие события (возбуждением определенных нейронов в определенные моменты времени) они способны представлять.

Уже упоминалось, что нейронные сети были одним из истоков теории автоматов. В частности, один из центральных результатов теории автоматов - теорема Клини – был сформулирован и доказан именно в терминах нейронных сетей. Продолжением и трансформациями идеи нейронных сетей можно полагать перцептрон и возникшие позже нейрокомпьютерные модели.

Схожим образом автоматной по природе является модель однородных структур. Коротко ее (самый простой вариант) можно описать следующим образом. Представим плоскость, разделенную вертикальными и горизонтальными прямыми на квадратные ячейки. Поместим в каждую ячейку конечный автомат, одно из состояний которого интерпретируется как состояние покоя. Определяется понятие соседства для таких автоматов. Если автоматы в ячейках, соседних с данной, а также автомат в данной ячейке находятся состоянии покоя, то в следующий момент автомат в данной ячейке тоже будет находиться в состоянии покоя, в противном случае автомат в данной ячейке может в следующий момент возбудиться. Все автоматы и принцип соседства одинаковы для всех ячеек, т.е. эти структуры устроены однородно, что и привело к такому названию. Изучается поведение конфигураций ("волн" возбуждения) ячеек. Таким образом, можно представлять распространение волн возбуждений в тканях, изучать самоспроизведение автоматов. В однородной структуре, как выяснилось, моделируется поведение машины Тьюринга, что характеризует степень общности этой модели.

Интересны по замыслу модели древа эволюции, основывающиеся на теории графов, и на частном случае графа – дереве. Оказалось возможным, основываясь на теории нагруженных деревьев, строить древо эволюции и его части методами, отличными от традиционных в биологии.

Расшифровка генотипа (в том числе генотипа человека) в значительной мере опиралось на решения следующей задачи. Существует слово (генотип), но оно, как таковое, не дано, а представлено множеством своих "обрывков", "подслов". В какой мере это множество определяет искомое слово, и как "собрать" это слово из "подслов".

Наконец, распознавание образов, в первую очередь распознавание визуальных и слуховых образов, а также реконструкция трехмерных изображений по их плоским проекциям, с очевидностью тоже могут быть отнесены к математической биологии, поскольку такие задачи, как предполагается, решаются мозгом.

В целом, однако, математическую биологию трудно назвать развитой в нужной степени дисциплиной. Модели в биологии не обладают пока такой предсказательной силой, как, например, математические модели в физике или в механике. Если условно считать математику в физике эталоном, то положение с математикой в биологии можно сравнить, пожалуй, не более чем с доньютоновским периодом.

Эта статья еще не написана, но вы можете сделать это.