Математическая экономика

Математическая экономика – совокупность проблем экономической теории и хозяйственной практики, описываемых, анализируемых и решаемых на основе средств и методов математического моделирования.

Принято считать, что в рамках математической экономики не осуществляется параметризация моделей и, следовательно, их верификация. Этим математическая экономика, в которой математические методы представляют предмет самостоятельного исследования , отличается от математических методов экономики, в которых математический аппарат играет скорее вспомогательную роль и предназначен обслуживать «основное производство», т. е. содержательную проблематику.

Первые модели математической экономики были предложены французским математиком Курно А. в конце 1830х годов. Основные содержательные области математической экономики начали вычленяться со второй половины 19 века с появлением работ представителей математической школы в экономической теории. Перечислим основные содержательные области математической экономики (не претендуя на полноту и однозначность выявленных акцентов):

• теория потребительского выбора, охватывающая теории качественной и порядковой полезности, теорию отношения предпочтения-безразличия, модель технологии потребления;
• теория фирмы, охватывающая теорию производственных функций;
• теория рыночных взаимодействий;
• модели статического и динамического экономического равновесия;
• модели экономической теории благосостояния;
• модели динамики текущих цен;
• модели теории оптимизации;
• модели экономического роста и научно-технологического прогресса;
• модели теории игр;
• статические и динамические межотраслевые модели;
• модели выбора в условиях риска и неопределенности;
• модели внешних эффектов и общественных благ;
• модели ассиметричной информации;
• модели финансовой и актуарной математики.

Математический аппарат математической экономики охватывает практически все разделы математики, начиная с линейной алгебры и линейного программирования и кончая дифференциальной топологией.

Для моделирования потребительского выбора наряду с применением метода Лагранжа и теорем об огибающей (теорем о маргинальных значениях) были использованы впервые топологические методы (результаты американского автора французского происхождения Дебре Ж.).

Теория производственных функций на самом деле шире области ее взаимодействия с теорией фирмы. Было выполнено огромное число работ, посвященных разным вопросам, имеющим отношение к производственным функциям: учет научно-технологического прогресса в разных формах, использование в качестве основного элемента в разнообразных агрегированных моделях роста.

Основной математический аппарат, использованный для описания и анализа моделей экономического роста - теория оптимального управления.

В моделях рыночных взаимодействий присутствует одна из первых моделей математической экономики – модель олигономии (дуополии в случае дух фирм) для которой ее автор Курно А. открыл (и доказал его существование) равновесие которое, как потом (к 1950м годам) оказалось, является частным случаем равновесия Нэша Дж. – фундаментального понятия теории кооперативных игр.

Со второй половины 19 века понятие (статического) равновесия является центральным (до настоящего времени) в экономической теории. Первоначальная его версия (и все последующие версии) имела математическую форму и поэтому представляла собой фрагмент содержательной области математической экономики. Факт существования статического равновесия в конкурентной экономике был доказан лишь в публикации 194 года двух американских авторов Эрроу К. и Дебре Ж., которые использовали технику точечно-множественных отображений и теорему Какутани Ш. (Япония) о существовании неподвижной точки у таких отображений. В контексте работы американских авторов существование конкурентного равновесия они виртуозно свели к существованию неподвижной точки специально построенного ими точечно-множественного отображения.

Классическое динамическое экономическое равновесие было предложено в 1938г. (английский перевод в широко читаемом экономическом журнале в 1945г.) американским математиком венгерского происхождения Дж. фон Нейманом. Суть этой версии динамического равновесия в развитии экономической системы в режиме пропорционального роста производства и в пропорциональном падении цен.

В математической экономике было доказано, что при весьма необременительных условиях оптимальные траектории динамических моделей (как сильно агрегированных, так и много продуктовых и многосекторных) в течение практически всего временного промежутка мало отличаются от траекторий равновесия роста производства.

Если последняя имеет максимальный темп роста, то получается точка соприкосновения двух важных теоретических положений – теории максимального постоянного пропорционального роста производства, приятно называть магистралью, а утверждение о структурной близости максимального постоянного пропорционального роста – теоремой о магистрали. Класс магистральных теорем весьма широк и занимает важное место в математической экономике.

Для описания рациональной экономики в структурном разрезе были построены статические и динамические межотраслевые модели. Статическая межотраслевая модель имеет вид системы линейных алгебраических уравнений с квадратной матрицей с неотрицательным ( по существу положительным) вектором свободных членов. На основании формальных свойств этой системы, которые являются следствием содержательных соображений, система имеет единственное решение, координаты которого неотрицательны, что является положительным феноменом с содержательной точки зрения. Более подробное описание и обоснование дано в статье коэффициенты прямых и полных затрат.

Переход от статической межотраслевой модели к динамической межотраслевой модели описан в статье Математические методы экономики.

Особо важное место в математической экономике занимает проблема динамики цен в одно- и многопродуктивных моделях. Суть этой проблемы в анализе динамики текущих цен в формулировке условий, достаточных для их сходимости к ценам равновесия.

В случае однопродуктовой модели построена так называемая паутинообразная модель (1940е годы), в которой используется простейший математический аппарат в виде одного обыкновенного разностного уравнения первого порядка.

В случае многопродуктовых моделей используется аппарат в виде систем обыкновенных дифференциальных уравнений и теории устойчивости Ляпунова А. М. Для доказательства сходимости траектории текущих цен к ценам равновесия требуется наложить довольно жесткие условия на систему обыкновенных дифференциальных уравнений, что косвенно свидетельствует о том, что текущие цены в конкурентной экономике просто так не стремятся в ценам равновесия.

В 1970г. американский экономист Акерлоф Дж. опубликовал (только после четвертой положительной рецензии) статью об асимметричной информации, которая очень быстро переросла в концепцию, занявшую ведущее положение в экономической теории. В рамках этой концепции была построена и проанализирована проблема морального риска (риска недобросовестности) на рынке труда. Были также предложены важная модель сигналов (модель о сигнализировании) америкаского экономиста Спенса А. (1973г.) и модель фильтрации (просеивания) американского экономиста Стиглица Е. (1976г.), а также американских экономистов Ротшильда М. (1976г.) и Вильсока С. (1976г.)

Рекомендуемая литература

Экономико-математический энциклопедический словарь. М.: Большая Российская Энциклопедия, «Инфра-М», 2003.