Экстремум

Экстремум (от латин. extremum – крайний) – значение непрерывной функции, являющееся ее локальным максимумом или локальным минимумом. Более точно, непрерывная функция f имеет в точке x₀ локальный максимум (соответственно, минимум), если существует такая окрестность U точки x₀ в области определения функции, что для любой точки x из U имеет место неравенство  (соответственно, ). Сама точка x₀ при этом называется точкой экстремума или критической точкой функции f.

Согласно общему Принципу Оптимальности в природе, высказанному еще Мопертюи, Лейбницем и Эйлером, локальные минимумы и максимумы (т.е. экстремумы) играют первостепенную роль в описании самых разных природных явлений, поэтому они активно изучаются. Для дифференцируемых функций необходимые, а также достаточные условия экстремума описываются в курсе математического анализа и формулируются на языке производных функции f.  Однако в приложениях важную роль играют и существенно более общие ситуации, такие как случай выпуклых функций без предположения о дифференцируемости (здесь экстремумы изучает выпуклый анализ), случай функционалов в бесконечномерных пространствах, таких как функционал длины кривой или площади поверхности (такие критические точки изучают вариационное исчисление и оптимальное управление). Также выделяют понятие условного экстремума – локально максимального (минимального) значения функции, в предположении, что аргумент функции удовлетворяет некоторому условию.

Рис. 1. Красные точки – локальные минимумы, зеленая точка – локальный максимум.

Рис. 2. Условные экстремумы линейной функции, ограниченной на окружность. Показаны линии уровня линейной  функции.

На рис 1 изображены экстремумы функции одного переменного, на рис. 2 – условный экстремум линейной функции двух переменных, при условии, что ее аргументы принимают значения на окружности.

Отметим, что экстремумы не следует путать с наибольшим и наименьшим значениями функции. Скажем, на рис.1 локальный максимум функции заведомо меньше ее наибольшего значения.

Рекомендованная литература.

В.А.Зорич, Математический анализ. М.: ФАЗИС, 1997.