Непрерывность

Непрерывность – одно из важнейших математических понятий, обычно употребляемое применительно к понятию функции (отображению, операции). Если рассматриваемая на множестве операция (или операции) непрерывна, то иногда этот термин относят к самому множеству (например, непрерывная группа). Иногда термин "непрерывность" употребляется в том же смысле, что и термин "полнота", т.е. в смысле невозможности или ненужности расширения некоторого математического объекта для выполнения каких-то данных условий. Например, в этом смысле говорят о непрерывности (полноте) множества действительных чисел.

Непрерывная функция – функция, мало изменяющаяся при малых изменениях аргумента. Если  f(x)  – функция действительного переменного  x,  то она непрерывна в точке  , если для любого  действительного числа  ε > 0  существует такое действительное число  δ > 0, что при    выполняется неравенство .  Это определение равносильно следующему: при  x,  стремящемся  к  ,  значение функции  f(x)  стремится к формула ,  т.е.   . Сумма, разность и произведение непрерывных в точке функций являются непрерывными в этой точке функциями. Частное непрерывных в точке функций также непрерывная в этой точке функция, за исключением случая, когда знаменатель дроби в точке обращается в ноль.

Непрерывные функции обладают многими важными свойствами, которыми и объясняется огромное значение этих функций в математике и её приложениях. Так, например, функция, непрерывная на отрезке (во всех его точках), ограничена на нём и принимает наибольшее и наименьшее значения, а также все промежуточные значения между ними.

Непрерывность (полнота) множества действительных чисел выражается рядом принципов полноты. Так принципом полноты является следующее утверждение: если A и B непустые подмножества действительных чисел и для любых  a  из  A  и  b  из  B  выполняется неравенство  a < b, то  существует такое действительное число  c,  что для любых  a  из  A  и  b  из  B   a ≤ с ≤ b. Принцип полноты Кантора утверждает, что любая последовательность вложенных отрезков (когда любой отрезок последовательности содержит отрезки с большими номерами) имеет общую точку. Принцип полноты Вейерштрасса гласит, что любое непустое ограниченное сверху (снизу) множество действительных чисел имеет точную верхнюю (нижнюю) грань. В аксиоматике действительных чисел обычно один из принципов полноты принимают за аксиому, а остальные доказывают. В моделях действительных чисел (например, действительные числа – бесконечные десятичные дроби) принципы полноты доказывают.