Интеграл Римана

Интеграл Римана – определённый интеграл, введённый Б. Риманом в 1853 г. Обобщает на некоторые разрывные функции введённый О.Л. Коши интеграл, который применялся только для непрерывных функций.

Пусть действительная функция   f(x)  одного переменного  x  определена на отрезке  [a, b]. Если существует предел I интегральных сумм Римана    где         k=1,…,n, при  max∆a→0 (т.е. для любого  ε > 0  существует такое  δ > 0,  что при  max∆a<δ  верно неравенство  | S –I | < ε), то  I  называют определённым интегралом Римана от функции  f  по отрезку  [a, b]  и обозначают

Необходимым и достаточным условием интегрируемости  f(x)  на  [a, b]  в смысле Римана является ограниченность   f(x)  на  [a, b]  и равенство нулю меры Лебега множества всех точек разрыва  f(x)  на  [a, b].

По определению полагают, что    а при  a>b  

Свойства интеграла Римана.

1) Линейность: из интегрируемости на  [a, b]  каждой из функций  f(x)  и  g(x)  следует, что для любых чисел  α  и  β  функция  (α f(x) + βg(x))  интегрируема на  [a, b]  и выполняется равенство

2) Из интегрируемости на  [a, b]  каждой из функций  f(x)  и  g(x)  следует интегрируемость на  [a, b]  их произведения  f(x)g(x).

3) Из интегрируемости на отрезке  [a, b]  функции  f(x)  следует её интегрируемость на любом подотрезке  

4) Аддитивность: из интегрируемости функции  f(x)  на каждом из отрезков  [a, b]  и  [b, c]  следует её интегрируемость на  [a, c]  и равенство  

5) Если функция  f(x)  интегрируема на  [a, b]  и все её значения принадлежат отрезку  [A, B],  а функция  φ(x)  непрерывна на [A, B],  то сложная функция  φ(f(x))  интегрируема на  [a, b].

6) Если функции  f(x)  и  g(x)  интегрируемы на  [a, b]  и  f(x) ≥ g(x)  всюду на   [a, b],  то

7) Из интегрируемости функции  f(x)  на  [a, b]  следует интегрируемость на  [a, b]  функции  |f(x)|  и оценка