Интегральные суммы

Интегральная сумма – сумма, через предел которой вводится определённый интеграл.

Интегральные суммы бывают разного вида, наиболее известными являются интегральные суммы Римана и интегральные суммы Лебега. Если действительная функция  f(x) одного переменного x определена на отрезке [a, b], который разбит точками, и заданы точки  k=1,…,n,  то интегральной суммой (Римана) называется  где k=1,…,n.  Интеграл Римана определяется через предел таких интегральных сумм и может с помощью них вычисляться приближённо. Используя интегральные суммы указанного вида и другие понятия предела можно получить и ещё некоторые интегралы (например, интеграл Курцвейля-Хенстока). Понятие интегральных сумм Римана можно ввести и для функций нескольких переменных. Вместе с интегральными суммами Римана часто используются верхняя  и нижняя  суммы Дарбу, где    Суммы Дарбу – точная верхняя и точная нижняя грани интегральных сумм Римана.

Если действительная функция   f(x)  одного переменного  x  определена на отрезке  [a, b]  и принимает значения из полуотрезка  [A, B), который разбит  точками    и заданы точки    k=1,…,n,  то интегральной суммой Лебега называется    где множество а   – мера Лебега множества   введённое А. Лебегом обобщение понятия длины. Интеграл Лебега от ограниченных функций определяется через предел таких интегральных сумм и может с помощью них вычисляться приближённо. Для неограниченных функций можно разбивать точками всю ось  OY и аналогично вводить бесконечные интегральные суммы Лебега.

Понятие интегральных сумм Лебега можно ввести и для функций нескольких переменных.