Математическая картография

Специфической особенностью географических карт является их математически определенное построение. Математическая определенность достигается путем опоры на геодезическую основу карт и с помощью математической основы карт. Благодаря этому размещение картографических образов на карте однозначно соответствует расположению отображаемых ими объектов и явлений в пространстве.

Под геодезическими основами карт понимается совокупность геодезических данных, необходимых для создания карт. Получение этих данных – область деятельности геодезии.

Математическая картография – картографическая дисциплина, изучающая математическую основу карт. В ней разрабатываются теория и методы создания картографических проекций, анализируются искажения и оцениваются достоинства проекции- применительно к различным картам. Это важно знать при выборе проекций для общегеографических и тематических карт, а также при выполнении исследований по картам, преобразовании изображений из одной проекции в другую, решении картометрических задач и ином использовании карт.

Можно сказать, что математическая картография изучает и разрабатывает способы отображения поверхности Земли на плоскости. Поскольку поверхность Земли (приблизительно сферическая) имеет конечную кривизну, её нельзя отобразить на плоскость с сохранением всех пространственных отношений одновременно: углов между направлениями, расстояний и площадей поверхностей. Можно сохранить только некоторые из этих соотношений.

Главной частью математической картографии является теория картографических проекций. Создание картографических проекций началось в глубокой древности. Этому способствовало представление о шарообразности Земли. Значительный вклад внесли древнегреческие ученые. Мыслитель Фалес Милетский (625 — 547 до н.э.) применил для карты звездного неба гномоническую проекцию. Эратосфен Киренский (276—194 до н.э.) построил карту, изобразив на ней известную тогда грекам сушу в равнопроме-жуточной цилиндрической проекции. Математику и астроному Аполлонию Пергскому (ок. 260—170 до н.э.) была известна ор-тографическая проекция. Выдающийся астроном Гиппарх (160—125 до н.э.) использовал ортографическую и стереографическую проекции, ввел географические координаты и первым указал на то, что для точных карт нужны опорные пункты с измеренными широтами и долготами. Клавдий Птолемей (ок. 90—ок. 160) построил псевдоконическую проекцию, применял другие проекции и разработал способ построения конической проекции.

Другой значительный раздел математической картографии — картометрия, которая позволяет по данным карты измерять расстояния, углы и площади на реальной поверхности Земли.

Геодезические основы карт

Под геодезической основой понимается совокупность геодезических данных, необходимых для создания карт. Картография заимствует из геодезии прежде всего данные о математических моделях картографируемых тел. Параметры, характеризующие форму и размеры этих тел, позволяют вычислять длины дуг параллелей, длины дуг меридианов, площади трапеций и выполнять необходимые расчеты, связанные с построением проекций и созданием карт. Используются также геодезические системы координат. Большое значение имеют пункты геодезических сетей, являющиеся хранителями координат точек местности. На основе этих пунктов выполняются топографические съемки и создаются топографические карты. В свою очередь на базе топографических карт создаются многие тематические карты.

Фигуры картографируемых тел, за исключением астероидов, ядер комет и спутников некоторых планет, обычно могут быть аппроксимированы математически правильными телами. Чаще всего ими являются шар или эллипсоид вращения. Поверхность такого тела называют поверхностью относимости или референц-поверхностъю. Именно поверхность относимости в выбранной картографической проекции проектируется на плоскость.

Трехосный эллипсоид для картографирования используется редко, так как его применение сопряжено с неоправданно сложными расчетами. Обычно его применяют лишь для картографирования некоторых спутников планет, форма которых наиболее близка к трехосному эллипсоиду. Таковым, например, является спутник Марса Фобос. Что касается тел исключительно неправильной формы, например астероидов, то в настоящее время наблюдается: тенденция визуализации на картах их реальных поверхностей.

Положение точки на картографируемой модели определяется географическими координатами — широтой и долготой. Широты отсчитывают от 0 на экваторе до +90° на Северном полюсе и до -90° на Южном полюсе. Счет долгот ведут от 0 на начальном меридиане до +180° в восточном направлении и до -180° в западном направлении. В дальнейшем используется именно эта система счета долгот. Долготы также иногда отсчитывают от 0 до 360° в восточном или западном направлении. Международный астрономический союз (MAC) рекомендует планетографические долготы считать в направлении, противоположном вращению небесного тела.

В XI в. Бируни, работавший в Хорезме, создал глобулярную проекцию. В XV в. Генрих-Мореплаватель возродил квадратную цилиндрическую проекцию. В связи с поиском западного морского пути в Индию Паоло Тосканелли построил карту в псевдоцилиндрической проекции. Выдающийся картограф Г. Меркатор (Герард Кремер, 1512—1594) применил для карт мира равноугольную цилиндрическую проекцию, которая впоследствии была названа его именем.

В XVII —XVIII вв. происходит бурное развитие геодезических наук. Проводимые обширные геодезические измерения и топографические съемки способствовали развитию теории картографических проекций. Немецкий ученый И.Г. Ламберт (1728 — 1777) построил общую теорию равноугольных проекций. Член Петербургской академии наук Л. Эйлер (1707—1783) исследовал равновеликие проекции. Выдающийся немецкий математик К. Ф. Гаусс (1777—1855) разработал общую теорию отображения одной поверхности на другую. Французский ученый Н.А.Тиссо (1824— 1897) изложил в законченном виде общую теорию искажений в картографических проекциях. В 1856 г. выдающийся российский математик П.Л. Чебышев (1821 — 1894) высказал весьма важную теорему о «наивыгоднейшей» проекции.

Значительный вклад в математическую картографию внесли известные российские ученые В.В.Витковский (1856—1924), Ф.Н. Красовский (1879-1948), В.В.Каврайский (1884-1954). Дальнейшее развитие математической картографии связано с именами таких ученых, как Н.А.Урмаев, Г.А.Мещеряков, ГА. Гинзбург, Л.М.Бугаевский, Л. А. Вахрамеева и др.

Рекомендуемая литература

Серапинас Б.Б. Математическая картография. М.АКАДЕМИЯ, 2005