Арифметические функции
Арифметические функции - функции, определённые на множестве натуральных чисел и используемые в каких-либо теоретико-числовых задачах. Рассмотрим некоторые часто встречающиеся примеры.
Целой частью действительного числа называется наибольшее целое число , удовлетворяющее неравенству . Обозначается эта функция . Так, например, . Для кратности , с которой простое число входит в разложение на простые сомножители, справедлива формула
Наименьшее общее кратное всех натуральных чисел, не превосходящих , равно , где произведение берется по всем простым .
Функция называется дробной частью числа . Она удовлетворяет неравенствам и имеет период . Например, .
Функция Мёбиуса определяется на всех натуральных числах следующим образом
1. ;
2. , если делится на квадрат простого числа;
3. , если все простые числа различны.
Она мультипликативна, т.е. для любой пары взаимно простых чисел выполняется равенство . Для любого действительного и натурального числа выполняется равенство
где – количество натуральных чисел , взаимно простых с , а суммированиие ведется по всем натуральным делителям числа . В частности, при , получаем формулу, позволяющую вычислять - количество простых чисел . А именно,
Функция Эйлера определяется как количество натуральных чисел, не превосходящих и взаимно простых с . В частности, для любого простого числа , а для любого натурального имеем Функция Эйлера мультипликативна, т.е. для любых двух натуральных взаимно простых чисел и выполняется Теорема Эйлера (1760г.) утверждает, что для каждого целого числа , взаимно простого с модулем , выполняется сравнение
Функции - количество делителей , и - сумма делителей числа мультипликативны. Если , то и
Арифметические функции, как правило, ведут себя очень нерегулярно. Поэтому представляют интерес усредненные характеристики их поведения. В 1849г. Дирихле доказал, что при выполняется равенство
где - постоянная Эйлера и . В 1903г. этот результат был усилен Г.Ф. Вороным, доказавшим, что формула (1) верна при любом . Этот результат также уточнялся. Но известно, что формула (1) при уже неверна. Выполняется также равенство
означающее, что среднее значение суммы делителей числа равно примерно . Для суммы значений функции Эйлера имеем
Этот результат можно выразить иначе, сказав, что выбирая случайным образом пару целых чисел , удовлетворяющих неравенствам , можно получить несократимую дробь с вероятностью .
Выходные данные:
- Просмотров: 601
- Комментариев: 0
- Опубликовано: 09.12.2010
- Версий: 2 , текущая: 2
- Статус: экспертная
- Рейтинг: 100.0
Автор:
Нестеренко Юрий Валентинович