Зарегистрироваться

Арифметические функции

Категории Теория чисел | Под редакцией сообщества: Математика

Арифметические функции - функции, определённые на множестве натуральных чисел и используемые в каких-либо теоретико-числовых задачах. Рассмотрим некоторые часто встречающиеся примеры.

Целой частью действительного числа называется наибольшее целое число , удовлетворяющее неравенству . Обозначается эта функция . Так, например, . Для кратности , с которой простое число входит в разложение на простые сомножители, справедлива формула

 

Наименьшее общее кратное всех натуральных чисел, не превосходящих , равно , где произведение берется по всем простым .

Функция называется дробной частью числа . Она удовлетворяет неравенствам и имеет период . Например, .

Функция Мёбиуса определяется на всех натуральных числах следующим образом

1. ;

2. , если делится на квадрат простого числа;

3. , если все простые числа различны.

Она мультипликативна, т.е. для любой пары взаимно простых чисел выполняется равенство . Для любого действительного и натурального числа выполняется равенство

 

где – количество натуральных чисел , взаимно простых с , а суммированиие ведется по всем натуральным делителям числа . В частности, при , получаем формулу, позволяющую вычислять - количество простых чисел . А именно,

 

Функция Эйлера определяется как количество натуральных чисел, не превосходящих и взаимно простых с . В частности, для любого простого числа , а для любого натурального имеем Функция Эйлера мультипликативна, т.е. для любых двух натуральных взаимно простых чисел и выполняется Теорема Эйлера (1760г.) утверждает, что для каждого целого числа , взаимно простого с модулем , выполняется сравнение

Функции - количество делителей , и  - сумма делителей числа мультипликативны. Если , то и

Арифметические функции, как правило, ведут себя очень нерегулярно. Поэтому представляют интерес усредненные характеристики их поведения. В 1849г. Дирихле доказал, что при выполняется равенство

 

где - постоянная Эйлера и . В 1903г. этот результат был усилен Г.Ф. Вороным, доказавшим, что формула (1) верна при любом . Этот результат также уточнялся. Но известно, что формула (1) при уже неверна. Выполняется также равенство

 

означающее, что среднее значение суммы делителей числа равно примерно . Для суммы значений функции Эйлера имеем

 

Этот результат можно выразить иначе, сказав, что выбирая случайным образом пару целых чисел , удовлетворяющих неравенствам , можно получить несократимую дробь с вероятностью .

Эта статья еще не написана, но вы можете сделать это.