Дзета-функция Римана

Дзета-функция Римана определяется рядом

который сходится при каждом действительном и расходится при . Такие ряды при различных целых значениях изучал Эйлер. Впоследствии дзета-функция стала рассматриваться, как функция действительного переменного . Её свойства тесно связаны со свойствами множества простых чисел, что позволяет использовать для исследования простых чисел методы теории функций. А именно, при каждом выполняется так называемое тождество Эйлера

называемое тождеством Эйлера.

Эйлер также нашел формулы, связывающие значения дзета-функции в чётных положительных точках с числом . Например,

Для значений в нечётных точках подобные соотношения неизвестны. Предполагается, что они не существуют.

Несмотря на то, что ряд (1) расходится при , дзета-функцию можно определить и при таких значениях аргумента. Например, при справедливо тождество

Последний ряд, как известно, сходится при . Поскольку множитель отличен от нуля на множестве , это равенство можно рассматривать как определение дзета-функции в интервале .

В 1859г. Б.Риман определил дзета-функцию при любом комплексном значении и установил ряд её глубоких свойств. Он также первым использовал обозначение для функции (1), получившей впоследствии название дзета-функция Римана. Как функция комплексного переменного дзета-функция аналитична во всех точках комплексной плоскости, за исключением точки , где она имеет полюс первого порядка. Дзета-функция обладает симметрией относительно точки , а именно, удовлетворяет некоторому функциональному уравнению. Она обращается в нуль в точках , а, кроме того, как предположил Риман, имеет бесконечное количество нулей в полосе , расположенных симметрично относительно прямой и вещественной оси (этот факт был доказан в 1893г. Ж. Адамаром). Риман высказал без доказательства и приближённую формулу для количества таких нулей в прямоугольнике (доказана в 1895г. Х. фон Мангольдтом). Он также предположил, что все нули в полосе в действительности лежат на прямой . Эта гипотеза – знаменитая "гипотеза Римана" не доказана до сих пор. Риман показал, что поведение функция - количества простых чисел тесно связано с расположением нулей .

Рассматривая дзета-функцию, как функцию комплексного переменного, Ж. Адамар и Ш.Ж. Вале-Пуссен установили точный порядок роста функции , доказав в 1896г., что при , т.е. . Это утверждение называется асимптотический закон распределения простых чисел.

Вале-Пуссен дал и оценку точности, с которой функция приближает . Важную роль в доказательстве сыграло утверждение об отсутствии нулей дзета-функции Римана в некоторой области полосы . При этом выяснилось, что для всех достаточно больших функция лучше приближается интегралом чем отношением . Из справедливости недоказанной гипотезы Римана можно вывести оценку

где – некоторая положительная постоянная.

Известно множество утверждений, эквивалентных гипотезе Римана. Приведём здесь только одно из них, не требующее серьёзных математических познаний. Пусть – натуральное число. Расположим все дроби с условиями

в порядке возрастания, и обозначим их . Такая последовательность называется рядом Фарея порядка . Ясно, что количество дробей в ряде Фарея зависит от . Для справедливости гипотезы Римана необходимо и достаточно, чтобы при каждом существовала, зависящая только от , постоянная , при которой для всех выполняется оценка

Это неравенство означает, что дроби ряда Фарея не должны слишком сильно отклоняться от соответствующих дробей, полученных делением отрезка на равных частей.