(Би)Компактное пространство

Согласно первоначальному определению П.С. Александрова и П.С.Урысона (1923), топологическое пространство называется бикомпактным, если каждое его открытое покрытие содержит конечное подпокрытие. При этом бикомпактное хаусдорфово пространство называлось бикомпактом. В настоящее время принята другая терминология: бикомпактное пространство называют компактным, бикомпакт — компактом.

Из-за совпадения свойств компактности, счетной компактности и секвенциальной компактности для подмножеств евклидовых пространств (а также для других классов «хороших» пространств: метрических пространств, многообразий, пространств, изучаемых в алгебраической топологии) не сразу стало очевидным, что именно компактные пространства являются правильным расширением класса метрических компактов. Однако дальнейшее развитие математики и ее приложений утвердило фундаментальную важность понятия компактности.

Важнейшие свойства компактных пространств:

Подмножество евклидова пространства компактно в том и только том случае, если оно замкнуто и ограничено. Замкнутое подмножество компактного пространства компактно. Непрерывный образ компактного пространства компактен (частный случай: каждая непрерывная функция на компактном пространстве достигает своих наименьшего и наибольшего значений). Никакой компакт нельзя представить в виде объединения счетного семейства нигде не плотных множеств. Любое непрерывное отображение компактного пространства в хаусдорфово пространство замкнуто. Прямое («тихоновское») произведение любого семейства копактных пространств компактно (теорема Тихонова). Обратный предел компактных пространств компактен. Любое тихоновское пространство вложимо в компакт. Если кольцо непрерывных функций на компакте содержит все постоянные функции, разделяет точки и замкнуто относительно равномерной сходимости, то оно совпадает с кольцом всех непрерывных вещественных функций на X (теорема Стоуна-Вейерштрасса).

Рекомендуемая литература

Александров П.С. Введение в теорию множеств и общую топологию, М., 1977.

Энгелькинг Р. Общая топология, М., 1986.