Размерность топологического пространства

Размерность топологического пространства– целое число d(X), определяемое для каждого топологического пространства X класса K  и обладающее достаточным количеством свойств, сближающих его с обычным числом измерений евклидовых многомерных пространств. При этом от класса K требуется, чтобы он содержал все кубы любого числа измерений и вместе с любым данным пространством X, являющимся его элементом, содержал в качестве элемента и всякое пространство, гомеоморфное пространству X. От размерности d(X) предполагается, что для гомеоморфных пространств X и X' всегда d(X)=d(X') и что для n-мерного куба Iⁿ  выполняется  d( Iⁿ)=n.

Классическими размерностями являются:

Лебегова размерность dim: dim X=-1 в только том случае, когда X=Ø; dim X≤n, если в любое конечное открытое покрытие пространства X можно вписать конечное открытое покрытие кратности  ≤n+1; 

Большая  индуктивная размерность Ind нормального пространства X:  Ind X=-1 в только том случае, когда X= Ø; Ind X≤n, если для каждого замкнутого множества A в X и произвольного открытого множества  O в X, содержащего A, найдется открытое множество U в X, такое, что    и Ind Fr U ≤n-1, где Fr U  — граница множества U;  

Малая  индуктивная размерность ind регулярного пространства X: ind X=-1 в только том случае, когда X= Ø; ind X≤n, если для каждой точки x в X и произвольного открытого множества O в X, содержащего x, найдется открытое множество U в X, такое, что

  и  ind Fr U ≤n-1 .

Индуктивное определение размерности наметил А. Пуанкаре (1912).  Первое точное определение размерностной функции было сформулировано Л.Брауэром (1913). Теория размерности была основана К.Менгером и П.С.Урысоном. Определение размерности ind было сформулировано П.С.Урысоном (1922) и К.Менгером (1923). Определение размерности Ind было   сформулировано  Е.Чехом (1931). Лебегова размерность была определена Е.Чехом (1933) в классе нормальных пространств,   и ее определение отталкивается от теоремы Лебега «о мостовых». М.Катетов (1950) модифицировал определение, что дало возможность  распространить размерность dim на класс тихоновских пространств.

Основное тождество Урысона:

ind X=Ind X=dim X

выполняется в классе сепарабельных метризуемых пространств. Для метризуемых пространств верны формулы Катетова-Мориты

ind X≤Ind X=dim X,

а для (би)компактов – формулы Александрова

dim X≤ind X≤Ind X.

Основными теоремами теории размерности являются теорема Нёбелинга-Понтрягина о вложении  в евклидовы пространства; теоремы Александрова об ω-отображениях и существенных отображениях; теоремы суммы; теоремы монотонности; логарифмическое неравенство для произведений; формулы Гуревича для повышающих и понижающих размерность отображений. 

Рекомендуемая литература.

Александров П.С., Пасынков Б.А. Введение в теорию размерности, М., 1973.

Engelking R. Theory of dimensions. Finite and Infinite, Heldermann, 1995.