Александров Павел Сергеевич

Павел Сергеевич Александров (7.05.1896-16.11.1982) родился в городе Ногинске (ранее Богородск) в семье известного земского врача Сергея Александровича Александрова.

Математическое образование Павел Сергеевич получил в Московском университете, куда он поступил в 1913 г. На выбор профессии серьезно повлиял его школьный учитель математики Александр Романович Эйгес, правильно оценивший способности своего лучшего ученика.

Учителями, или, как теперь принято говорить, научными руководителями, студента П. С. Александрова были профессора Дмитрий Федорович Егоров и Николай Николаевич Лузин. Первыми научными результатами Павла Сергеевича были теорема о мощности борелевских множеств, а также построение широко известной A-операции, названной так другим замечательным учеником Н. Н. Лузина Михаилом Яковлевичем Суслиным в честь П. С. Александрова. Не будет преувеличением сказать, что эти результаты П. С. Александрова вместе с другими явились основными в фундаменте теории борелевских и аналитических множеств.

Как бы в ответ на эти успехи Н. Н. Лузин поставил перед Павлом Сергеевичем труднейшую и, как теперь понятно, не разрешимую имеющимися тогда средствами проблему континуума. Неудача оказалась большим ударом для Павла Сергеевича, и он на несколько лет, к сожалению, отошел от математики.

Громаднейшее влияние на Павла Сергеевича оказала его тесная дружба с Павлом Самуиловичем Урысоном. Вместе они стали заниматься тогда у нас еще неизвестной ветвью математики — абстрактной или общей топологией. Ими была построена теория компактных (счетно-компактных) пространств, а самим Павлом Сергеевичем — теория пространств бикомпактных (компактных — в новой терминологии).

Теория бикомпактных пространств вместе с ее дальнейшим развитием в работах ученика Павла Сергеевича — Андрея Николаевича Тихонова является незаменимым вкладом Павла Сергеевича в современную математику. Совместные с П. С. Урысоном, а также и самостоятельные исследования проблемы метризации топологических пространств несомненно были некоторыми из тех зерен, из которых потом возникла равномерная топология. Отметим также результаты Павла Сергеевича, относящиеся к бикомпактным расширениям топологических пространств. Прибавим к этому, что столь широко употребляемое ныне в общей топологии понятие локально-конечного покрытия впервые было определено П. С. Александровым.

Во время своих заграничных поездок, начавшихся с 1923 г., П. С. Александров стал заниматься другим направлением топологии — комбинаторной топологией, в те времена почти неизвестной в Советском Союзе. Он сумел объединить обе эти ветви вместе и широко развить полученную им теорию, которая несомненно послужила достаточным основанием для современной алгебраической топологии. Прибавим к этому, что одно из основных понятий алгебраической топологии — так называемая «точная последовательность» — было придумано Павлом Сергеевичем.

Главнейшими понятиями этой объединенной теории являются найденные П. С. Александровым чисто геометрическое понятие нерва системы множеств и весьма абстрактное понятие спектра симплициальных комплексов, оказавшиеся пригодными и необычайно удобными для исследования сколь угодно общих и абстрактных образований. Одной из важнейших теорем здесь явилась так называемая теорема об ε-сдвигах компактов в полиэдры, по существу утверждающая, что каждый компакт (теперь можно сказать, что почти всякое топологическое пространство) можно аппроксимировать сколь угодно точно столь простыми геометрическими фигурами, как полиэдры. В свою очередь эта теорема открыла возможность построения так называемых спектральных групп гомологии (и когомологий), а стало быть, и самых разнообразных гомологических инвариантов для широкого класса топологических пространств. До сих пор подобные группы и инварианты были известны лишь для полиэдров.

Большая роль принадлежит Павлу Сергеевичу и в теории размерности топологических пространств, начатой еще П. С. Урысоном. Это касается прежде всего теории существенных отображений в полиэдры и гомологической теории размерности. Дело в том, что более ранние определения размерности Брауера, Менгера и Урысона «практически» позволяли делать оценку размерности сверху, в то время как определения П. С. Александрова позволяют оценивать размерность снизу. Полученные Павлом Сергеевичем результаты гомологической теории размерности привели к решению задачи Урысона о характеризации размерности компактов, лежащих в евклидовых пространствах, с помощью гомологических свойств дополнительных открытых множеств. Эти же результаты позволили Льву Семеновичу Понтрягину решить еще одну важную задачу о размерности произведения компактов. На том же пути им же был найден и доказан знаменитый закон двойственности для компактов, расположенных в евклидовых пространствах, и дополнительных к компактам открытых множеств. Обе задачи были поставлены П. С. Александровым, который впоследствии обобщил этот закон двойственности Л. С. Понтрягина на произвольные множества. Другие очень интересные формы столь же общего закона двойственности были еще позднее получены учеником Павла Сергеевича — Кириллом Александровичем Ситниковым. Заметим еще, что не без влияния П. С. Александрова некоторые совсем иного рода законы двойственности были найдены Андреем Николаевичем Колмогоровым.

Вот весьма вкратце кажущиеся нам главнейшими научные результаты П. С. Александрова.

Павел Сергеевич непосредственно не занимался приложением топологии к анализу, но он очень много сделал для самой возможности такого ее применения. Анализ не мог ограничиться правильными образами классической комбинаторной топологии. Предельный переход превращает их в сложные образы теоретико-множественной топологии. С другой стороны, анализ не может ограничиться конечномерными образами, поскольку ему приходится иметь дело также и с бесконечномерными функциональными пространствами. Поэтому перенесение гомологических понятий на множества весьма общей природы имеет принципиальное значение для топологических методов анализа. Например, пространство допустимых кривых в вариационных задачах обычно локально-компактное бесконечномерное пространство. Отсюда топологические методы вариационного исчисления широко используют общую гомологическую теорию Павла Сергеевича. Гомологическая теория размерности, основные понятия которой были созданы Павлом Сергеевичем в 1932 г., также может служить ярким примером применения гомологических методов к изучению теоретико-множественных объектов сложной природы.

Павлу Сергеевичу принадлежит заслуга создания советской топологической школы, пользующейся сейчас всеобщим признанием.  Павел Сергеевич много внимания уделял воспитанию способной молодежи университета, решившей заниматься общей топологией.  Павла Сергеевича всегда окружали его ученики разного возраста и положения — от известных ученых до студентов-первокурсников.

Для одних он читал курсы лекций, вместе с другими проводил семинары как учебного, так и научно-исследовательского характера, а также руководил научной работой. Лекции Павла Сергеевича можно слушать как литературные произведения: столько в них чувства, мастерства и артистичности в лучшем смысле этого слова. Павел Сергеевич руководил кафедрой высшей геометрии и топологии, а также и математическим отделением Московского университета, и это руководство отнюдь не формальное. Он заведовал отделом по общей топологии Математического института Академии наук СССР. Тридцать три года подряд Павел Сергеевич был президентом Московского математического общества, которому отдал много своих сил, а начиная с 1964 г. являлся его почетным президентом. В течение многих лет он являлся главным редактором  журнала «Успехи математических наук», а также входил в состав редакции журналов «Математический сборник» и «Труды Московского математического общества». Отметим еще, что Павел Сергеевич был в числе первых организаторов Московской олимпиады для школьников в 1935 г.

Научная, педагогическая и общественная деятельность Павла Сергеевича Александрова высоко оценена: в 1929 г. он был избран членом-корреспондентом Академии наук СССР, а в 1953 г.— действительным ее членом. Он являлся членом многих иностранных академий. Правительство Советского Союза наградило Павла Сергеевича орденами «Знак Почета», «Трудовое Красное Знамя» и тремя орденами Ленина. За работу «Гомологические свойства расположения комплексов и замкнутых множеств» Совет Министров СССР присудил ему Государственную премию первой степени.