Момент

Момент случайной величины - математическое ожидание ее степени. Точнее, математическим ожиданием или моментом первого порядка случайной величины
X = X(w), заданной на вероятностном пространстве (W, Ƒ , P), называется число

EX = X(w)P(dw),
если этот интеграл, понимаемый в смысле Лебега, конечен. В противном случае говорят, что математическое ожидание X не существует. (В некоторых ситуациях можно допускать бесконечные математические ожидания, но они здесь рассматриваться не будут.) М. по-рядка k случайной величины X называется математическое ожидание EX^k = a_k(X) случай-ной величины X^k, k = 1, 2, … , абсолютным М. порядка s случайной величины X называ-ется математическое ожидание E|X|^s = b_s(X) случайной величины |X|^s , s > 0, центральным М. порядка k относительно центра c (здесь и далее c – постоянная) называется величина E(X – c)^k, k = 1, 2, … , а абсолютным М. порядка s относительно центра c называется вели-чина E|X – c|^s, s > 0, если эти математические ожидания существуют. По определению, a₀(X) = b₀(X) = 1 для любой случайной величины X.

Для данного числа k = 1, 2, ... все моменты порядка k случайной величины X сущест-вуют или не существуют одновременно. Аналогичное утверждение справедливо для абсо-лютных моментов порядка s > 0. В качестве центра c обычно выбирается c = EX, случайная величина X – EX называется центрированной величиной X и часто обозначается  . Центральный момент первого порядка равен нулю, центральный момент DX = E(X – EX)² называется дисперсией X, положительный квадратный корень из дисперсии s = на-зывается стандартным отклонением X. Выбор центра c = EX при определении дисперсии связан с тем, что min E(X – c)² достигается при c = EX.

Если f(x), - ¥ < x < ¥ , - борелевская функция, то математическое ожидание случай-ной величины f(X) можно вычислять с помощью функции распределения F_X случайной величины X по формуле

Ef(X) = f(x)dF_X(x), если этот интеграл, понимаемый в смысле Римана – Стилтьеса, сходится абсолютно. Если X – дискретная случайная величина, то есть X может принимать только значения x₁, x₂, … с вероятностями p₁, p₂, … , p_k = 1, то Ef(X) можно вычислять по формуле

Ef(X) = f(x_k)p_k, если этот ряд сходится абсолютно, а если функция распределения F_X абсолютно непрерывна и p_X(x) – ее плотность, то Ef(X) можно вычислять по формуле

Ef(X) = f(x)p_X(x)dx, если этот интеграл, понимаемый как несобственный интеграл Римана, сходится абсолютно. Далее предполагается, что все математические ожидания существуют.

Аналогом математического ожидания в механике является центр тяжести распределения масс, а аналогом дисперсии – момент инерции относительно центра тяжести.

Моменты и абсолютные моменты можно вычислять с помощью формул

a_k(X) = kx^k-1(E₀(x) – F_X(x))dx, k = 1,2 ,…,

b_s(X) = s|x|^s-1|E₀(x) – F_X(x)|dx, s > 0,
где E₀(x) – (вырожденная) функция распределения, имеющая единичный скачок в точке
x = 0. Таким образом, существование моментов связано со скоростью стремления к нулю хвостов F_X(-T) и 1 – F_X(T), T > 0, функции распределения F_X при T ® ¥. В частности, если b_s(X) < ¥, то

F_X(-T) + 1 – F_X(T) £ b_s(X)/T^s , T > 0, а если

F_X(-T) + 1 – F_X(T) = O(1/T^s)
при T ® ¥ , то для любого 0 < e < s существует момент b_s-e(X).

Для абсолютных моментов справедливо неравенство Ляпунова

b_s^t-u(X) £ b_u^t-s(X)b_t^s-u(X) для любых 0 £ u £ s £ t,
которое чаще всего используется в виде

b_s^1/s(X) £ b_t^1/t(X) для любых 0 £ s £ t, откуда, в частности, следует, что существование момента порядка t влечет существование моментов всех порядков, меньших t. Для случайных величин X, распределения которых решетчаты с шагом h > 0, справедливо неравенство Мизеса

hE|X – EX|^k-1 £ 2E|X – EX|^k
для любого натурального k.

Среди М., чаще всего используемых в теории вероятностей, - математическое ожидание и дисперсия, что связано как с тем, что они используются в фундаментальных утверждениях теории вероятностей, законе больщих чисел и центральной предельной теореме, так и с тем, что они обладают свойством аддитивности (см. ниже). Простейшие свойствами математического ожидания:

1.  Ec = c,

2.  EcX = cEX,

3.  E(X + Y) = EX + EY (аддитивность),

4.  E(XY) = (EX)(EY), если случайные величины X и Y независимы.

Простейшее свойства дисперсии:

1.  Dc = 0,

2.  D(X + c) = DX,

3.  D(cX) = c²DX,

4.  D(X + Y) = DX + DY, если X и Y независимы (аддитивность).

Во многих задачах теории вероятностей важную роль играет неравенство Чебышева

P(|X – EX| ³ e) £ DX/e²,

где e - произвольное положительное число. Из этого неравенства следует, в частности, что свойство 1. дисперсии допускает следующее обращение: если DX = 0, то P(X = EX) = 1, то есть если дисперсия случайной величины X равна нулю, то она на подмножестве W единичной вероятности является постоянной и эта постоянная есть EX.

В.В. Сенатов