Интегрирование дифференциального уравнения
Интегрирование дифференциального уравнения — нахождение всех его решений.
1. Прежде всего, особо выделяются случаи чисто алгебраического интегрирования, в результате которого по коэффициентам исходного дифференциального уравнения решение представляется явно или неявно в виде алгебраических уравнений.
Например, алгебраически интегрируется любое линейное однородное уравнение с постоянными коэффициентами
и любая линейная однородная система с постоянными коэффициентами
, .
Их решения представляются в виде произвольной линейной комбинации функций, полностью определяемых корнями характеристического многочлена
и, соответственно, жордановой формой (с жордановым базисом) матрицы .
При интегрировании уравнения в частных производных роль произвольных постоянных играют уже произвольные функции. Например, все решения уравнения колебаний струны
задаются формулой Даламбера
,
где f и g — произвольные функции (достаточной гладкости).
2. Далее, представляет несомненный интерес возможность проинтегрировать уравнение в квадратурах, т.е. с участием интегралов от известных функций, причем независимо от того, берутся они явно или нет. В квадратурах интегрируется любое уравнение с разделяющимися переменными
,
которое при условии приводится к виду
, где.
3. Наконец, допустимо также и получение решений в виде бесконечных рядов функций от независимых переменных или параметров. Для демонстрации этой идеи представим решение задачи о колебаниях струны длины с закрепленными концами
в виде функции с разделенными переменными
.
Подставив ее в волновое уравнение и в краевые условия, получим
, ,
откуда находим все возможные ненулевые функции
и соответствующие им функции
.
После этого появляется реальная возможность искать общее решение этой задачи в виде ряда Фурье
.
4. Иногда бывает полезно проинтегрировать уравнение хотя бы частично, предъявив способ понижения его порядка. Например, можно попытаться найти его первый интеграл — непостоянную функцию, принимающую постоянные значения вдоль каждого решения уравнения. Так, частично интегрируется уравнение Ньютона
,
всегда имеющее первый интеграл
,
называемый интегралом энергии. С его помощью порядок уравнения можно понизить, сведя его к семейству уравнений первого порядка
,
интегрируемых в квадратурах.
Выходные данные:
- Просмотров: 4
- Комментариев: 0
- Опубликовано: 10.12.2010
- Версий: 11 , текущая: 11
- Статус: пользовательская
- Рейтинг: 100.0
Автор:
Сергеев Игорь Николаевич
- профессор; доктор физико-математических наук
- Редактор
Ссылки отсюда
Категории:
Ссылки сюда
Категории: