Обыкновенные дифференциальные уравнения

Обыкновенное дифференциальное уравнение — дифференциальное уравнение, в котором неизвестная функция зависит от одной переменной. В общем виде обыкновенное дифференциальное уравнение n-го порядка записывается так

,

где y=y(x) искомая функция, причем последний аргумент функции F не является фиктивным.

Простейший класс таких уравнений первого порядка составляют эволюционные уравнения, описывающие такие явления, как:

1)  радиоактивный распад

y´=-ky,

где y = y (x) — количество радиоактивного вещества в момент х;

2)  вытекание жидкости из сосуда через отверстие в его дне

y´=-k√ y,

где y = y (x) — высота уровня жидкости в момент х;

3)  взрыв

y´= y².

Эти примеры демонстрируют различные свойства решений обыкновенных дифференциальных уравнений. Так, в первом из них решение, при условии y(0)> 0, никогда не достигнет нулевого значения, во втором — достигнет за конечное время, а в третьем — вообще не продолжается на всю положительную полуось, поскольку за конечное время уходит в бесконечность.

Любое обыкновенное дифференциальное уравнение n-го порядка сводится канонической заменой переменных

к системе первого порядка

для векторной неизвестной функции z=z(x).