Теоремы существования и единственности

Теорема существования и единственности — утверждение о существовании и единственности решения дифференциального уравнения при определенных дополнительных условиях.

Например, в случае обыкновенного дифференциального уравнения n-го порядка, разрешенного относительно старшей производной

,

существование и единственность решения в достаточно малой окрестности некоторой точки гарантируется набором начальных условий

,

определяющих задачу Коши, и непрерывной дифференцируемостью правой части ƒ уравнения (при этом для существования решения задачи Коши достаточно уже непрерывности функции ƒ).

Для уравнения в частных производных задача Коши ставится аналогично, с той разницей, что роль начальной точки играет начальная гиперповерхность в области переменных, на которой и задаются значения искомой функции, а также всех ее младших производных по нормали к этой поверхности. Теорема Коши — Ковалевской утверждает, что правильно поставленная задача Коши с аналитическими коэффициентами имеет единственное аналитическое решение.

Кроме задачи Коши, рассматриваются также краевые задачи — например, задача Дирихле для уравнения Лапласа внутри единичного круга:

.

В случае уравнений в частных производных, изучаются и смешанные задачи, условия которых на части границы напоминают начальные, а на другой части — краевые. Например, задача теплопроводности однородного стержня длины 1 с теплоизолированными концами:

,  u(x, 0) = φ(x),  u' (0, t)=u' (1, t)=0.

К вопросу о существовании и единственности решения тесно примыкает такой качественный вопрос, как непрерывная зависимость решения от начальных значений (или функций). В случае положительного ответа на него, задача называется корректной. Классическим примером некорректной задачи служит начальная задача для обратного (с обращенным вспять временем) уравнения теплопроводности

=0,  u(x, 0) = φ(x).