Кольца и алгебры

Кольцом называется непустое множество, в котором  для любых двух элементов a,b определены их сумма a+b и произведение ab.  При этом выполнены следующие аксиомы

1)     a+b=b+a;

2)     (a+b)+c=a+(b+c);

3)     существует нулевой элемент 0, обладающий тем свойством, что 0+x=x для всех x;

4)     для любого элемента x существует противоположные элемент –x, такой что x+(-x)=0;

5)     x(y+z)=xy+xz,  (x+y)z=xy+xz.  

Если выполнено тождество (xy)z=x(yz), то кольцо называется ассоциативным. Если дополнительно xy=yx для всех элементов x,y, тио кольцо ассоциативно-коммутативно.

Элемент 1 из кольца называется единицей, если 1x=x1=x  для любого элемента x.

Аксиомы 1) – 4) означают, что кольцо является абелевой группой относительно сложения.

Исторически первым примером кольца являются целые числа Z. Это коммутативно-ассоциативное кольцо с единицей. Другим примером, коммутативного кольца являются многочлены с   коэффициентами из некоторого ассоциативного кольца, в частности, с целыми коэффициентами, а также все квадратные матрицы фиксированного  размера с  коэффициентами из некоторого ассоциативного кольца.   Эти кольца ассоциативны и содержат единицу. Важным примером колец является все (непрерывные, дифференцируемые, аналитические) функции на множестве (топологическом пространстве, гладком или аналитическом многообразии).

  В каждом кольце можно выделить подкольца, т.е. непустые подмножества, замкнутые относительно сложения, умножения и взятия противоположного элемента. Каждое подкольцо снова является кольцом. Идеалом в кольце называется непустое подмножество, замкнутое относительно сложения, взятия противоположного элемента и относительно умножения слева и справа на любой элемент кольца.  Идеалами в кольце целых чисел Z являются подмножества nZ, т.е. все числа,  делящиеся на заданное целое число n. Важную роль в  кольцах функций играют идеалы, состоящие из всех функций, принимающих нулевое  значение в заданной точке. В ряде важных случаев в терминах таких идеалов восстанавливается исходное множество, на котором задано кольцо функций.

Если в кольце R задан идеал I, то можно построить факторкольцо R/I.  Факторкольцо дают новые примеры колец. Важную роль в проблемах передач информации и ее защите играют кольца вычетов по модулю n, т.е. фаторкольца Z/nZ.

 С понятием кольца связано понятие (линейной) алгебры. Это векторное пространство над полем, являющееся одновременно кольцом, причем α(xy)=(αx)y=x(αy) для любых элементов x,y и любых чисел α.   Примерами алгебр являются все  квадратные матрицы, многочлены с коэффициентами из поля. Помимо матриц важным  некоммутативных колец являются тело кватернионов, алгебра Клиффорда, алгебра Вейля (алгебра дифференциальных операторов), играющие важную роль в современной физике. Алгебра Клиффорда вводится с помощью билинейной  функции, что позволяет использовать соединить алгебраические  геометрические методы

Помимо коммутативных, ассоциативных алгебр активно развиваются алгебры Ли, йордановы алгебры и др. Алгебры Ли с умножением [x,y] определяются тождествами [x,x]=[[x,y],z]+[[y,z],x]+[[z,x],y]=-0.  Одним из основных примеров алгебр Ли являются ассоциативные алгебры с умножением [x,y]=xy-yx. Алгебры Ли играют принципиальную роль в теории алгебраических групп и групп Ли. Оказывается, что в группе Ли касательное пространство к единичному элементу обладает  структурой алгебры Ли. Более того, в некоторой окрестности единичного элемента умножение в группе можно вычислить, зная структуру касательной алгебры Ли. Это позволяет классифицировать группы Ли и изучать их представления, используя теорию алгебр Ли.

Йордановы алгебры определяются тождествами xy=yx, x(x²y)x= x²(yx). Примером йордановой алгебры являются  ассоциативные алгебры, с новым умножением x·y=xy+yx. Другим примером являются все (симметричные) матрицы с тем же самым умножением x·y.

Важным примером неассоциативных алгебр являются альтернативные алгебры, в которых подалгебры, порождаемые двумя элементами, являются ассоциативными. Примером альтернативной алгебры являются октонионы, расширяющие алгебру кватернионов. Класс всех альтернативных алгебр задается тождествами, означающими, что функция (xy)z-x(yz) меняет знак при перестановке любых двух ее аргументов x,y,z.