Зарегистрироваться

Поля

Категории Алгебра | Под редакцией сообщества: Математика

Полем называется  ассоциативно-коммутативное кольцо с единицей, отличной от нуля причем у каждого ненулевого   элемента x имеется обратный элемент x-1, обладающий тем свойством, что xx-1=x-1x=1.  Примером поля являются все рациональные, вещественные, комплексные числа, вычеты по простому модулю. Другими примерами полей являются поля Q[d], где  d – целое число, не делящееся на квадрат простого числа. Поле Q[d] состоит из всех комплексных чисел a+bd,  где a,b рациональные числа. В частности, при d=-1 получаются гауссовы числа.

  Характеристикой поля называется наименьшее  наименьшее натуральное число p, такое, что сумма p единиц равна нулю. Если такого p нет, то характеристика равна нулю.  Положительная характеристика поля является простым. Поля нулевой характеристики содержат поле рациональных чисел.  

При решении задачи о нахождении корней многочленами с коэффициентами  из заданного поля необходимо рассматривать расширения полей.   Расширение полей K k алгебраично, если каждый элемент из K является корнем многочлена с коэффициентами из k.  У каждого поля k существует его алгебраическое замыкания F,  т.е. алгебраическое расширение поля k, причем каждый многочлен с коэффициентами из F обладает корнем в F.  Например, алгебраическим замыканием поля вещественных чисел является поле комплексных чисел.

Таким образом, задача о нахождении корней многочлена f с коэффициентами из поля k включает в себя задачу о нахождении поля разложения  f, т.е.  наименьшего расширения поля k,  в котором многочлен разлагается на  множители первой степени. Группой Галуа многочлена называется группа автоморфизмов поля разложения, как алгебры над исходным полем k.

Если степень n  многочлена не выше 4, то существуют формулы, позволяющие найти корни многочлена через коэффициенты с помощью операций сложения, умножения, деления, вычитания, извлечения корней. Если степень многочлена не менее 5, то такой формулы не существует. Возможность такого выражения для корня неприводимого многочлена над полем нулевой характеристики равносильна разрешимости группы Галуа многочлена.  Существуют различные алгоритмы, позволяющие находить все решения систем алгебраических уравнений с любой степенью точности.

 Каждое коммутативно-ассоциативное кольцо, в котором произведение ненулевых элементов отлично от нуля вкладывается в поле дробей. Таким образом, из целых чисел получаются рациональные числа, из многочленов – рациональные дроби

Эта статья еще не написана, но вы можете сделать это.