Зарегистрироваться

Математические модели физических явлений, основанные на нелинейных дифференциальных уравнениях

Категории Математическая физика | Под редакцией сообщества: Математика

Особенность линейных уравнений состоит в том, что если V и W — два решения, то их линейная комбинация снова является решением. Это обстоятельство позволяет построить общее решение линейного дифференциального уравнения из фиксированного набора его «элементарных» решений и сильно упрощает теорию линейных дифференциальных уравнений.

Пожалуй, самым знаменитым примером нелинейного дифференциального уравнения математической физики является система дифференциальных уравнений Навье —-

Стокса, описывающая течение вязкой несжимаемой жидкости. Пусть (xl х2, х3) — декартовы координаты точек  заполненной жидкостью области D; u(x1,x2,x3,t)  —

Вектор скорости частицы жидкости, находящейся в момент времени t в точке {х1,х2,х3), р(х1.х2,х3, t)— давление жидкости в точке (х1,х2,х3) в момент времени t.

Если на жидкость не действуют внешние силы, то при определенной идеализации эти величины связаны  системой уравнений

 

 

 

(1)

 

 

 

где v — вязкость жидкости. Система уравнений (1)  называется системой уравнений Навье — Стокса. Первые при уравнения этой системы (первая строка) — запись второго закона Ньютона для частицы жидкости: слева Стоит ускорение, а справа — сила, отнесенная к единице массы. Пропорциональное вязкости слагаемое моделирует переход энергии макроскопического движения жидкости в энергию теплового движения ее молекул. Последнее уравнение системы (1) (вторая строка) — это условие несжимаемости жидкости. Условие равенства нулю скорости жидкости на границе описывает прилипание частиц жидкости к стенкам сосуда.

Ни одному из нелинейных уравнений математически физики не посвящено столько работ, сколько системе уравнений Навье — Стокса. Несмотря на это, ряд принципиальных вопросов, связанных с системой уравнений Навье — Стокса, остается нерешенным. До сих пор неизвестно, существуют ли у системы (1) при произвольных

гладких начальных данных гладкие решения, которые остаются гладкими (т. е. дифференцируемыми) неограниченно долго, единственно ли негладкое (обобщенное) решение системы (1), действительно ли описывает система (1) переход к турбулентному движению жидкости при определенных условиях. В системе (1) четыре неизвестных функции от четырех аргументов, что делает задачу численного решения 

системы (1) очень сложной. В полной мере она стала под силу исследователям лишь совсем недавно. В последнее время рядом исследователей на основе анализа кинетических уравнений предложены такие модели диссипации энергии в жидкости, которые приводят к  уравнениям движения жидкости, отличным от уравнений Навье — Стокса (например, вязкость берется зависящей от скорости). Эти «модифицированные» уравнения иногда выглядят более сложно. В качестве примера, наряду с системой уравнений Навье — Стокса (1) рассмотрим еще две системы уравнений:

 

(2)

 

 

(3)

 

 

 

Система уравнений (2) иногда используется при теоретическом анализе свойств решений системы уравнений Навье — Стокса. Система уравнений (3) — это система уравнений Эйлера, описывающая движение идеальной жидкости. На первый взгляд самой сложной является система (2), а самой простой — система (3).

В действительности, однако, самой трудной для исследования является система уравнений Эйлера. Дело в том, что присутствие в уравнении «лишних» производных неизвестной функции позволяет получить дополнительную информацию о решении уравнения. Это обстоятельство нужно учитывать при составлении математических моделей и помнить о том, что далеко не всегда уравнение, которое внешне выглядит более просто, является более простым с теоретической или вычислительной точки зрения. Однако вопрос о том, удачны или нет предлагаемые ныне для описания движения вязкой жидкости «замены» системы уравнений Навье — Стокса, может решить только практика.

Решение интересных с точки зрения приложений нелинейных дифференциальных уравнений в частных производных редко можно найти «точно», т. е. в виде суперпозиции уже известных функций. Поиски случаев «точной»  интегрируемости продолжаются все время, и недавно были  разработаны новые методы отыскания «точных» решений уравнения Кортевега — де Фриза:

 

 

«кубического» уравнения Шредингера

 

 

 

и  уравнения   «Синус — Гордон»

 

 

 

Они интересны тем, что являются простейшими примерами нелинейных уравнений, описывающих  распространение волн в диспергирующей среде (т.е. в среде, где скорость  распространения  колебаний зависит от частоты и амплитуды колебаний). Используя «точные» решения, ученым удалось изучить ряд интересных явлений: 

фокусировку лазерного излучения, возникновение и развитие  уединенных» волн — солитонов и т. д. Примером решения типа «уединенной» волны для уравнения Кортевега — де Фриза является функция

 

 

 

Эта функция описывает волну, амплитуда которой пропорциональна скорости распространения. Если уравнение распространения колебаний линейное, амплитуда колебаний не зависит от скорости, в чем можно убедиться на примере рассмотренного выше волнового уравнения. Много «точных» решений найдено для дифференциальных уравнений газовой динамики (автомодельные решения). Для поиска «точных» решений используются приемы, основанные на методах теории групп, спектральной теории дифференциальных уравнений и т. д. Но основным методом решения нелинейных  дифференциальных уравнений в частных производных является численное  интегрирование.

Эта статья еще не написана, но вы можете сделать это.