Математический анализ

Математический анализ – раздел математики, изучающий функции и их обобщения методом пределов.

Математический анализ в широком понимании является весьма значительной частью математики, его методы широко используются в других разделах математики, в естественных и некоторых гуманитарных науках, а также в технике. Старинное название  – анализ бесконечно малых. В классическом математическом анализе объектом изучения (анализа) являются функции. Способы их изучения базируются на понятии предела.

Математический анализ в узком понимании употребляется для наименования только основ математического анализа, которые изучаются в системе высшего (а частично, и среднего) образования. В них входят дифференциальное и интегральное исчисления, их обоснование и непосредственные приложения.

Функция – одно из основных понятий математики. Функцией называется правило (отображение, соответствие, закон)  f,  ставящее каждому элементу  x  из некоторого множества  X  в соответствие определённый элемент  y  из множества  Y, который обозначают  как  f(x).  

Понятие функции менялось с развитием математики. В античной математике идея функции не была явно выражена и не являлась объектом исследования. В зачаточной форме понятие функции появляется в средние века. В XVII веке ряд математиков фактически пользуется понятием функции. Сам термин «функция» впервые появляется в 1692 году у Г. Лейбница, причем не в современном его понимании. Близкое к современному понятию определение дал Л. Эйлер в его «Дифференциальном исчислении» 1755 года: “Когда некоторые количества зависят от других таким образом, что при изменении последних и сами они подвергаются изменению, то первые называют функциями вторых”. Но в XVIII веке отсутствовало ясное понимание различия между функцией и её аналитическим (в виде формулы) выражением. Только в XIX веке у ряда математиков (С. Лакруа, Ж. Фурье, Н.И. Лобачевский, П. Дирихле) появляются определения функции фактически совпадающие с вышеприведённым.

Предел  также является одним из основных понятий математики. Если данная функция  y = f(x)  при определённом изменении  x  приближается к некоторой постоянной величине c, то последняя называется пределом  функции  f(x). Точный смысл понятия «предел функции» имеет лишь при указании закона изменения  x  и наличия точного понятия  близости  элемента  y  к величине  c. С пределом связаны основные понятия математического анализа: непрерывность, производная, дифференциал, интеграл. Одним из простейших случаев предела функции является предел числовой последовательности.

Предел числовой последовательности. Пусть дана числовая последовательность – функция  f,  ставящая каждому натуральному числу  n  из множества натуральных чисел  N  в соответствие определенный элемент  y  из множества действительных чисел  R, который обозначим  как

Действительное число  c  называется пределом последовательности     ,  если для любого действительного числа      ε > 0  существует такое число  N,  что для всех натуральных  n > N  выполняется неравенство  ,  при этом пишут    . Здесь указано, что  n  берутся достаточно большими, а близость  y  к  c  определяется модулем их разности.

Предел функции. Пусть функция  f  ставит каждому числу  x  из некоторого подмножества действительных чисел  R  в соответствие действительное число  y = f(x). Действительное число  b  называется пределом функции  f  в точке  a  из  R  (при  x  стремящемся к  a), если для любого действительного числа  ε > 0  существует такое действительное число  δ > 0, что для любого такого числа  x, что  0 < | x – a| < δ,  выполняется неравенство  |f(x) – b| < ε,  при этом пишут Отметим, что в определении требуется, чтобы функция  f  была определена для чисел  x,  близких к  a.

Равносильным данному определению является следующее определение. Действительное число  b  называется пределом функции  f  в точке  a  из  R,  если для любой последовательности  x,  которая стремится к  a,  но никогда не принимает значения  a, последовательность  y= f  (x), стремится к  b.

К понятию предела близко подошли древнегреческие учёные при вычислении площадей и объёмов некоторых фигур и тел с помощью метода исчерпывания, когда для данной фигуры или тела строится последовательность более простых вписанных и описанных фигур или тел, разность между площадями (соответственно объёмами) которых становится все меньше и меньше, т.е. стремится к нулю. Интуитивное понятие предела начинает систематически использоваться в XVII веке рядом математиков. Из них следует особо отметить И. Ньютона, который в своём труде «Математические начала натуральной философии», опубликованном в 1687 году, широко применял «метод флюксий» – своеобразную теорию пределов. В XVIII веке понятие предела постепенно уточнялось и анализировалось. Современная теория предела начала формироваться в начале XIX века. Впервые понятие предела стало основой построения математического анализа в работах О. Коши. Окончательно оно оформилось в работах Б. Больцано и К. Вейерштрасса. В настоящее время существуют многочисленные обобщения этого понятия для разных математических объектов.

Основами математического анализа являются дифференциальное и интегральное исчисления. Основное понятие дифференциального исчисления – производная, характеризующее скорость изменения функции  y = f(x)  при изменении аргумента  x, где  y  и  x  –  действительные числа. Производная     – функция, определяемая для каждого x  как предел     если он существует. Если существует производная функции ,  то её называют второй производной функции  f  и обозначают .  Аналогично определяются производные любого натурального порядка.

Термины «производная» и «вторая производная» ввёл в 1797 году Ж. Лагранж, хотя аналогичными понятиями ранее пользовались И. Ньютон, Г. Лейбниц и другие математики.

Центральное понятие интегрального исчисления – интеграл. Его возникновение связано с двумя задачами: восстановление функции по её производной и вычисление площади под графиком функции. Указанные задачи приводят к двум видам интеграла – неопределённому и определённому.

Неопределённым интегралом функции  f  на отрезке (или интервале) называется совокупность всех первообразных функции  f  – таких функций  F,  что    на указанном отрезке (или интервале). При этом любые две первообразные отличаются на постоянную. Обозначается неопределённый интеграл символом  Каждая непрерывная на отрезке (или интервале) функция  f  имеет первообразную, а значит, неопределённый интеграл. Существуют различные обобщения этого понятия.

Определенным интегралом от функции  f  на отрезке [a,b] в случае, когда  f  определена на [a,b] и имеет на нём первообразную  F,  называют  F(b) – F(a), т.е. приращение  F  на отрезке  [a,b].  Обозначают определённый интеграл символом    Указанное понимание определенного интеграла обычно связывают с именем   И. Ньютона.  Другое определение через предел интегральных сумм в случае непрерывных функций дал в 1823 году О. Коши, а в случае произвольных функций в 1853 Б. Риман. Определённый им интеграл стали называть интеграл Римана. Если функция  f  на отрезке  [a,b]  интегрируема в смысле Римана и имеет на  [a,b]  первообразную  F,  то определения Ньютона и Римана приводят к одинаковому результату, т.е. верна формула   которую называют формулой Ньютона-Лейбница. Существуют многочисленные обобщения понятия определённого интеграла, наиболее часто применяемым в математике является предложенное  в 1902 году А. Лебегом обобщение, которое называют интегралом Лебега.

Математический анализ до XVII представлял собой совокупность решений разрозненных частных задач; например, задачи на вычисление площадей фигур и объёмов тел с кривыми границами, работы переменной силы и т.д. Каждая задача или группа задач решалась своим методом, часто сложным и громоздким. Математический анализ в его современном понимании начал создаваться в XVII-XVIII веках в трудах И. Ньютона, Г. Лейбница, Л. Эйлера и других учёных. В XIX веке были четко сформулированы и изучены его основные понятия – предел, производная, касательная, дифференциал, интеграл, которые в дальнейшем в XX веке обобщались и развивались. Для современного математического анализа характерно, что после строгого обоснования своих основных понятий и строгих доказательств основных утверждений о них можно решать разнообразные задачи теоретического и прикладного характера при помощи достаточно простых и чётких алгоритмов.

Из российских математиков в развитие математического анализа в XIX веке значительный вклад внесли М.В. Остроградский и П.Л. Чебышев, а в XX веке большой вклад в разные разделы математического анализа внесли математики московской  математической школы, которую создали в 1920-ые годы в Московском университете Д.Ф. Егоров и Н.Н. Лузин.