Зарегистрироваться

Теория чисел

Категории Теория чисел | Под редакцией сообщества: Математика

Теория чисел имеет своим предметом числа и их свойства, т.е. числа выступают здесь не как средство или инструмент, а как объект исследования. Натуральный ряд 1, 2, 3, 4, …, 9, 10, 11, …, 99, 100, 101, … - множество натуральных чисел, является важнейшей областью исследований, необычайно содержательной, важной и интересной.

Исследований натуральных чисел

Начала исследований натуральных чисел были заложены в Древней Греции. Здесь были изучены свойства делимости чисел, доказана бесконечность множества простых чисел и открыты способы их построения (Евклид, Эратосфен). Задачи, связанные с решением неопределенных уравнений в целых числах, были предметом исследований Диофанта, их изучением занимались ученые Древней Индии и Древнего Китая, стран Средней Азии.

В XVII веке П. Ферма и в XVIII Л. Эйлер внесли огромный вклад в наши знания о натуральных числах. С работ П. Ферма, которому принадлежит ряд выдающихся открытий в теории диофантовых уравнений начался расцвет теории чисел в Европе. Ферма исследовал решения многих уравнений в целых числах, в частности высказал гипотезу, что уравнение хⁿ + yⁿ= zⁿ, n>2, не имеет решений в натуральных числах x, y, z (большая теорема Ферма), доказал, что простые числа вида 4n+1 являются суммой двух квадратов, высказал одно из основных утверждений теории сравнений: при любом целом a и простом p разность ap- a делится на p (малая теорема Ферма). Эйлер, оказавший большое влияние на развитие всей математики, а также и механики, создал новые методы и приемы, реализовал новые идеи, которые играют важную роль и в современных исследованиях и приложениях теории чисел. В частности, он доказал большую теорему Ферма при n=3, малую теорему Ферма и её обобщение, целый ряд теорем о представлении чисел бинарными квадратичными формами. Эйлер был первым, кто предложил использовать средства математического анализа при исследовании проблем теории чисел. Введённая Эйлером дзета-функция ζ(s) и её обобщения составляют основу современных аналитических методов исследования проблем распределения простых чисел.

Основные исследования в теории чисел можно условно сгруппировать по нескольким направлениям. Обширность содержания не позволяет охватить при этом все многообразие результатов и методов, используемых в теории чисел.

Исследования свойств простых чисел

Среди натуральных чисел выделяются так называемые простые числа, т.е. числа, которые невозможно представить в виде произведения меньших натуральных сомножителей. Множество их бесконечно (Евклид). Важный вопрос теории распределения простых чисел связан с изучением скорости роста функции π(x), равной количеству простых чисел, не превосходящих числа x. Теорема Евклида утверждает, что эта функция стремится к бесконечности при неограниченном возрастании x, однако ничего не говорит о скорости стремления. Основываясь на численных вычислениях, Лежандр предположил, что при больших x функция π(x) приближённо равна x/(lnx-B), где lnx — натуральный логарифм, а B=1.08… — некоторая постоянная (сегодня известно, что наибольшая точность приближения достигается для постоянной B=1). Первым, кому удалось продвинутся в решении этой задачи, был П.Л. Чебышев. Он показал, что для некоторых положительных постоянных a и b при всех x≥2 справедливы неравенства ax/lnx<π(x)<bx/lnx. Кроме того, Чебышев доказал, что если предел отношения π(x)/(x/lnx) существует, то он равен 1. Однако существование предела Чебышеву доказать не удалось. Из его результатов следует, что для некоторой постоянной c>1 и любого x≥2 между x и cx всегда найдётся простое число. Для c=2 это утверждение известно как «постулат Бертрана». Чебышев не только доказал его, но и уточнил, уменьшив постоянную c.

Другой подход к исследованиям скорости роста функции π(x), был предложен Г.Ф.Б. Риманом и был основан на изучении аналитических свойств введённой Эйлером функции ζ(s), которая впоследствии получила название «дзета-функции Римана». На этом пути в 1896 г. Ш.Ж. Валле Пуссен и Ж. Адамар независимо доказали асимптотический закон распределения простых чисел утверждающий, что их количество в пределах от 1 до заданного числа x асимптотически при x стремящемся к бесконечности равно. Вопросы распределения простых чисел в различных числовых последовательностях, например, среди значений фиксированного многочлена составляют одну из проблем этого раздела теории чисел. Для многочленов первой степени она была решена в середине XIX века Г.П. Лежен Дирихле. Теоремы о бесконечности количества простых чисел в арифметических прогрессиях частного вида, таких, как 4n±1, 6n±1, были известны и до него, однако только Дирихле удалось доказать общую теорему о бесконечности числа простых чисел в любой прогрессии вида an+b, n=0, 1, 2,…, где разность прогрессии a и её первый член b взаимно просты. Для доказательства он ввёл так называемые характеры и ряды Дирихле, которые играют важную роль, как в самой теории чисел, так и в других разделах математики, а ряды Дирихле составляют большую главу в современной теории функций. В настоящее время не известны результаты, подобные теореме Дирихле для многочленов степени большей 1. Известная проблема: доказать бесконечность множества простых чисел в последовательности

Исследование расстояний между соседними простыми числами в натуральном ряду составляет другой круг проблем этого направления. Среди нерешенных задач отметим, например, утверждение о бесконечности множества пар простых чисел p, q с условием p-q=2, так называемую "проблему близнецов".

Аддитивные задачи

Здесь рассматриваются вопросы представимости целых чисел в виде сумм слагаемых определенного вида. Например, в 1770г. Ж. Лагранж установил, что каждое натуральное число представимо в виде суммы четырех квадратов целых чисел. Впоследствии (1909г.) Д. Гильберт обобщил это утверждение, заменив суммы квадратов суммами произвольных фиксированных степеней, решив тем самым знаменитую проблему Варинга о представимости при любом всех натуральных чисел в виде суммы ограниченного количества n-х степеней натуральных чисел.

Предложенный Эйлером метод производящих функций послужил источником кругового метода Харди–Литтлвуда–Рамануджана и метода тригонометрических сумм И.М. Виноградова — основных методов современной аддитивной теории чисел. С помощью метода тригонометрических сумм И.М. Виноградов доказал асимптотическую формулу для количества представлений в проблеме Варинга в зависимости от представляемого числа, существенно уменьшив при этом количество слагаемых. В 1937г. И.М. Виноградов доказал, что каждое достаточно большое натуральное число представимо в виде суммы трех простых чисел, по существу решив тернарную проблему Гольдбаха, сформулированную в письме Гольдбаха к Эйлеру, но так называемая бинарная проблема Гольдбаха о представимости всякого четного числа в виде суммы двух нечетных простых чисел все еще остается открытой.

Диофантовы уравнения

Вопрос о целочисленных решениях различного вида уравнений также восходит к древности. Простейшим уравнением в целых числах является линейное уравнение ax+by=c (относительно неизвестных x, y), где a, b и c — целые числа, причём a и b взаимно просты (то есть не имеют общих натуральных делителей, отличных от 1). Все решения такого уравнения в целых числах можно найти с помощью алгоритма Евклида. Другим примером является уравнение . Все его целочисленные решения, так называемые «пифагоровы тройки», выписаны в «Началах» Евклида. Систематизации проблем теории чисел и методов их решения проведена Диофантом (III в.) в его «Арифметике», где, в частности, дано решение в рациональных числах многих алгебраических уравнении 1-й и 2-й степени с целыми коэффициентами от нескольких неизвестных. Эта книга сыграла большую роль в дальнейшем развитии той части теории чисел, которая занимается решением уравнений в целых числах, называемых теперь диофантовыми уравнениями.

Теория сравнений, являющаяся важным инструментом исследования диофантовых уравнений была систематически разработана К.Ф.Гауссом, отметим, в частности, его квадратичный закон взаимности. Гаусс ввёл так называемые суммы Гаусса, которые явились первыми примерами тригонометрических сумм, и показал их полезность в решении задач теории чисел. Гаусс, а затем Дирихле, продолжая исследования Эйлера, создали теорию представления натуральных чисел квадратичными формами , где а, b, с — целые числа. И если до Гаусса теория чисел представляла собой собрание отдельных результатов и идей, то после его работ она начала развиваться в различных направлениях как стройная теория.

В попытках доказать большую теорему Ферма о неразрешимости в натуральных числах уравнения Э.Э. Куммер пришёл к необходимости распространения понятия делимости на более широкие множества, чем множество целых чисел. Ему удалось доказать неразрешимость уравнения для многих конкретных значений n. И хотя на этом пути не удалось получить полное решение проблемы (теорема была окончательно доказана лишь в 1994г. Э. Уайлсом с помощью совершенно других методов), работы Куммера послужили источником нового большого раздела математики — теории алгебраических чисел. Эта теория и в настоящее время приносит плоды в области диофантовых уравнений. Отметим полученное в 2000г. П. Михайлеску решение проблемы Каталана о существовании у уравнения единственного решения в целых числах а именно . Вот примеры типичных вопросов, задаваемых в связи с исследованиями диофантовых уравнений: имеет ли данное диофантово уравнение решения в целых числах; если оно разрешимо, можно ли утверждать что-либо о множестве его решений, например, конечно оно или бесконечно; если множество решений бесконечно, что можно сказать о его структуре; если множество решений конечно, можно ли указать границы, в которых находятся решения или можно ли найти все решения данного уравнения.

Как пример задачи иного рода отметим доказанную в 1970г. Ю.В.Матиясевичем теорему об отсутствии единого алгоритма, отвечающего на вопрос о разрешимости для любого диофантова уравнения (10-я проблема Гильберта).

К этой же области исследований относятся вопросы о разрешимости и свойствах решений уравнений в рациональных числах, p-адических числах, конечных полях и кольцах.

Диофантовы приближения

Диофантовы приближения- раздел теории чисел о решении неравенств в целых числах, включает в себя теорию цепных дробей и другие алгоритмы построения приближений действительных чисел рациональными, а также ряд вопросов геометрии чисел. Среди наиболее ярких достижений отметим теорему К.Ф. Рота (1954г.) о том, что алгебраические числа не могут слишком хорошо приближаться рациональными. Среди нерешенных вопросов в этой области - знаменитая проблема Литтлвуда о том, что для любых действительных чисел и любого положительного неравенство разрешимо в целых числах .

Трансцендентные числа

Трансцендентные числа - раздел теории чисел, в котором исследуются вопросы иррациональности и трансцендентности действительных чисел. Трансцендентными называются числа, отличные от корней многочленов с целыми коэффициентами, т.е. числа, не являющиеся алгебраическими. Первые примеры таких чисел построил в 1844г. Лиувилль. В 1874г. Г. Кантор доказал, что почти все действительные числа трансцендентны. Несмотря на такой результат доказательство трансцендентности конкретных чисел, как правило, это классические постоянные или значения аналитических функций, представляет большие трудности. Трансценденость числа была доказана в 1873г. Ш.Эрмитом, а трансцендентность числа в 1882г. Ф.Линдеманом. Последний результат, означал невозможность квадратуры круга, т.е. невозможность построения с помощью циркуля и линейки квадрата, имеющего ту же площадь, что и данный круг. Доказана трансцендентность чисел при алгебраических , в последнем случае дополнительно предполагается, что (Линдеман), чисел вида при алгебраических и иррациональных чисел видапри алгебраических . Трансцендентность чисел двух последних типов составляла содержание 7-й проблемы Гильберта и была доказана в 1934г. независимо А.О.Гельфондом и Т.Шнейдером. Доказано, что целые обобщенные гипергеометрические функции с рациональными параметрами принимают трансцендентные значения в алгебраических точках, отличных от нуля (1956, А.Б. Шидловский). Мы опускаем ряд других результатов этой области. До сих пор не установлены иррациональность числа , Эйлеровой постоянной, иррациональность значений дзета-функции в целых нечетных точках, за исключением (Р. Апери, 1978), многих других чисел.

Нижние оценки линейных форм от логарифмов алгебраических чисел, доказанные средствами теории трансцендентных чисел (А. Бейкер, 1967г.), играют важную роль при нахождении решений многих диофантовых уравнений.

Арифметические исследования послужили базой для создания ряда разделов математики и в то же время теория чисел использует аналитические, алгебраические, геометрические и многие другие методы для решения теоретико-числовых проблем, ряд из которых ждал и ждет своего решения столетиями. В попытках доказательства все еще открытой гипотезы Римана о нулях дзета-функции использовались методы, развитые в теории дифференциальных уравнений, теории функций комплексного переменного, функциональном анализе. А доказательство асимптотического закона о распределении простых чисел впервые было получено методами комплексного анализа. Попытки решения проблемы Ферма, проблем распределения простых чисел стимулировали развитие ряда разделов алгебры.

Теория чисел, безусловно, относится к фундаментальным разделам математики. Вместе с тем ряд ее задач имеет самое непосредственное отношение к практической деятельности. Так, например, благодаря в первую очередь запросам криптографии и широкому распространению ЭВМ, исследования алгоритмических вопросов теории чисел переживают в настоящее время период бурного и весьма плодотворного развития. Криптографические потребности стимулировали исследования классических задач теории чисел, в ряде случаев привели к их решению, а также стали источником постановки новых фундаментальных проблем.

Традиции исследования проблем теории чисел в России идут, вероятно, от Эйлера (1707-1783), который прожил здесь в общей сложности 30 лет и многое сделал для развития науки. Под влиянием его трудов сложилось творчество П.Л.~Чебышева (1821-1894), выдающегося ученого и талантливого педагога, издавшего вместе с В.Я.~Буняковским (1804-1889) арифметические сочинения Эйлера. П.Л.~Чебышев создал Петербургскую школу теории чисел, представителями которой являлись А.Н. Коркин (1837-1908), Е.И.~Золотарев (1847-1878) и А.А.~ Марков (1856-1922). Г.Ф.~Вороной (1868-1908), учившийся в Петербурге у А.А.Маркова и Ю.В.Сохоцкого (1842-1927), основал школу теории чисел в Варшаве. Из нее вышел ряд замечательных специалистов по теории чисел и, в частности, В.Серпинский (1842-1927). Другой воспитанник Петербургского Университета Д.А.Граве (1863-1939) многое сделал для преподавания теории чисел и алгебры в Киевском Университете. Его учениками были О.Ю. Шмидт (1891-1956), Н.Г. Чеботарев (1894-1947), Б.Н.Делоне (1890-1980). Теоретико-числовые исследования проводились также в Университетах Москвы, Казани, Одессы.

Рекомендуемая литература

Боревич З.И., Шафаревич И.Р. Теория чисел.

Бухштаб А.А., Теория чисел.

Венков Б.А., Элементарная теория чисел.

Виноградов И.М., Основы теории чисел.

Гаусс К.Ф., Труды по теории чисел.

Дирихле П.Г.Л., Лекции по теории чисел.

Карацуба А.А., Основы аналитической теории чисел.

Нестеренко Ю.В., Теория чисел.

Шидловский А.Б., Диофантовы приближения и трансцендентные числа.

Эта статья еще не написана, но вы можете сделать это.