Алгебра

Алгебра – часть математики, принадлежащая, наряду с арифметикой и геометрией, к числу старейших направлений математической науки. Если в начальном периоде развития алгебра рассматривалась как совокупность приемов составления, исследования и решения уравнений, а также как область рассмотрения числовых систем, то в современном понимании алгебра может быть определена как часть математики, посвященная изучению алгебраических операций (их свойств, строения и проблем классификации).

↑Краткий исторический очерк. Начальный этап становления алгебры

Накопленные практические правила решения арифметических задач и освоения правил действия с натуральными, целыми, а затем и с рациональными числами привели к введению неизвестной величины, к буквенным (символьным) вычислениям, к выработке методов решения уравнений первой и второй степени. Эти элементы алгебры прослеживаются уже в математической культуре вавилонян (4000 лет до н.э.), у древних египтян (папирус Ахмеса, около 2000 лет до н.э.). В эпоху эллинизма Евклид (ок. 340 – ок. 287 лет до н.э.) в своем знаменитом труде «Начала» изложил геометрическую алгебру и решение квадратных уравнений. Его «теория отношений» является предвестником аксиоматического изучения алгебраических операций. Он привел доказательство бесконечности простых чисел, ввел понятие иррациональности числа. В Древней Греции уже свободно оперируют с уравнениями первой и второй степени, начинают употреблять отрицательные числа (трактат Диофанта Александрийского «Арифметика», вероятно, 3-ий век).

Термин «Алгебра» восходит к сочинению Мухаммеда бен Муссы ал Хорезми «Альджебр аль-мукабала» (9 в., Хорезм, Багдад), где было дано одно из первых изложений алгебры как самостоятельной науки (для своего времени). Систематическое применение отрицательных чисел было начато индийскими математиками (10 в.). В конце 15-го века в математических текстах появляются знаки + и – для сложения и вычитания, знаки степеней, корней, скобки. Ф.Виет (конец 16 в.) применяет буквенные обозначения для заданных и неизвестных величин. Отрицательные числа окончательно утвердились после того, как Р. Декарт показал их наглядный геометрический смысл в аналитической геометрии. Таким образом, к середине 17 в. сложилась современная алгебраическая символика.

В 17-18 вв. алгебру воспринимали как науку о преобразованиях буквенных формул и о решении алгебраических уравнений (оставляя арифметике вычисления над конкретными числами). Важную роль в России сыграла «Арифметика» Л.Ф. Магницкого (1703 г.). «Введение в алгебру» Л.Эйлера, вышедшее сначала на русском языке в 1768-69 гг., содержало:

целые числа; обыкновенные и десятичные дроби; корни; логарифмы; алгебраические уравнения 1-ой -- 4-ой степеней; прогрессии; соединения; бином Ньютона; диофантовы уравнения. Можно сказать, что к середине 18 в. сложилась та часть алгебры, которую сейчас принято называть «элементарной алгеброй».

Под «решением в радикалах» алгебраического уравнения с одним неизвестным понимается нахождение формул, выражающих его корни через коэффициенты с помощью сложения, вычитания, умножения, деления и извлечения корней. В итальянской школе в 16 в. была найдена формула Кардано для решения уравнений 3-ей степени, затем получен метод Феррари – для решения уравнений 4-ой степени. В начале 17 в. голландский математик А.Жирар сформулировал основную теорему алгебры многочленов о существовании комплексного корня для произвольного алгебраического уравнения с комплексными коэффициентами (ее строгое доказательство было позже дано К.Гауссом в конце 18 в.). Исследуются и системы алгебраических уравнений с несколькими неизвестными, в первую очередь – системы линейных уравнений, в связи с чем появляются понятия матрицы и определителя матрицы (т.е. начало теории матриц и линейной алгебры, Г. Лейбниц, 1693 г.). Ж. Лагранж (1759 г.) предложил метод приведения квадратичной формы к сумме квадратов. Таким образом, под «алгеброй» в 18-19 вв. уже понимают «анализ уравнений», т.е. алгебру многочленов. П.Руффини и О. Коши ввели умножение подстановок и прояснили его значение для алгебраических уравнений, после чего О.Коши (1815 г.) ввел понятие конечной группы. В 1824 году Абель доказал, что алгебраические уравнения выше 4-ой степени в общем случае в радикалах не разрешимы. В 1830-1832 гг. Э.Галуа получил общий критерий разрешимости алгебраического уравнения в радикалах (начало теории Галуа). В своей книге «Алгебра или исчисление конечных» Н.И. Лобачевский (1834 г.) предложил метод приближенного решения алгебраических уравнений высших степеней. Штурм (1829 г.) предложил для многочлена с действительными коэффициентами алгоритм вычисления числа корней на отрезке. С середины 19 в. эпицентр алгебраических исследований перемещается с рассмотрения алгебраических уравнений на исследование алгебраических операций широкого спектра. К. Гаусс (1831 г.) дал строгое изложение теории комплексных чисел. Им была предложена «композиция двоичных квадратичных форм». У.Гамильтон (1843—1865 гг.) ввел кватернионы и разработал основы их теории. Г.Грассман (1844) дал систематическое построение теории многомерных евклидовых пространств, заложил основы тензорного исчисления, построил алгебру Грассмана. А.Кэли (1846-1858 гг.) заложил основы теории алгебраических инвариантов и начал разработку теории матриц. Дж. Буль (1854 г.) создал логическое исчисление ( булева алгебра и алгебры логики). К.Жордан (1870 г.) опубликовал систематический курс по теории групп и теории Галуа. Им было введено понятие факторгруппы. Теорема Жордана-Гёльдера (1869 г.) описывает условия изоморфизма композиционных рядов групп. В 70-е гг. 19 в. С.Ли ввел в математику основные понятия теории групп Ли, возникшие в связи с проблемой разрешимости дифференциальных уравнений в квадратурах и исследованием непрерывных групп преобразований.

В конце 19 в. – начале 20 в. алгебра вступила в современный этап ее развития, в котором на общей аксиоматической основе произошло объединение ранее разрозненных областей, значительно расширилось поле приложений алгебры, что, в свою очередь, повлекло создание новых разделов алгебры.

Современный взгляд на алгебру как на общую теорию алгебраических операций оформился в начале 20 в. под значительным влиянием работ Д.Гильберта (теория инвариантов, 1885—1693 гг.; идеалы многочленов и алгебраическая геометрия, 1893—1898 гг.; теория алгебраических чисел), Э.Штейница (алгебраическая теория полей, 1910 г.), Э.Артина (кольца с условиями минимальности, 1944 г.), Ф.Э.Молина, Веддерберна, Э.Артина по строению классических полупростых колец; теории упорядоченных полей Артина-Штейница, Э.Нетер (кольца с условием максимальности, 1927 г.). Определенный итог этого этапа развития алгебры подвела в 1930 году книга Б.Л. ван дер Вардена «Современная алгебра».

↑Предмет изучения и основные разделы современной алгебры

Под алгебраической n-арной операцией на множестве A понимается отображение , где - n-ая декартова степень множества A, число называется арностью алгебраической операции (при n=0 нульарная операция – это выделенный элемент множества A; при n=1 -- унарная операция; при n=2 – бинарная операция). Множество A с системой определенных на нем алгебраических операций называется универсальной алгеброй.

В широком смысле, предметом изучения современной алгебры являются универсальные алгебры, рассматриваемые с точностью до изоморфизма. Ядро же современной алгебры составляют группы, полугруппы, поля, тела, кольца, линейные пространства, модули, решетки, универсальные алгебры, т.е. основные типы универсальных алгебр, теория которых сложилась за многовековую историю развития математики и ее приложений. Накопленный огромный фактический материал по основным примерам алгебраических объектов составляет содержательный смысл алгебры (включая и ее связи с другими разделами математики и иными науками). Развитие конкретных разделов алгебры состояло, как правило, из двух этапов: появление новых алгебраических объектов, «координатизирующих» новые математические явления и закономерности; дальнейшее систематическое и самостоятельное развитие появившихся классов алгебраических объектов.

Одним из наиболее важных и исследованных типов универсальных алгебр является группа, т.е. множество с одной ассоциативной бинарной операцией, содержащая единицу (нейтральный элемент) и обратный элемент для каждого элемента. Важные примеры конкретных групп: целые числа, рациональные, действительные числа, комплексные числа относительно операции сложения; аддитивная группа вычетов по модулю n; группа подстановок, группы преобразований и группы симметрий (фигур, молекул, кристаллов, физических законов); линейные группы (группы обратимых матриц); свободные группы; гомотопические группы, группы гомологий и когомологий топологических пространств; группы классов идеалов колец; группы расширений модулей над кольцом, группа Брауэра центральных тел конечного ранга над полем; группы узлов; группы кос; группы K-функторов кольца.

Идеи Лагранжа и Абеля реализовались в работах Галуа, показавшего важность свойств группы Галуа как абстрактной группы, хотя она была реализована как конкретная группа подстановок. Благодаря трудам Коши, Жордана, Силова, Фробениуса, Гельдера, Бернсайда, Шура, Миллера были заложены основы теории конечных групп. Монография У.Бернсайда (1897 г.), посвященная абстрактной теории конечных групп, подвела итог этому периоду.

Современная теория конечных групп богата глубокими результатами. Отметим, что значительное место в ней занимает классификация конечных простых групп. Заметное место занимает теория представлений конечных групп, заложенная Фробениусом (1896 г.), Шуром, Бернсайдом, Ф.Э.Молиным, Брауэром (1935 г., теория модулярных представлений). За столетний период развития в ней переплелись идеи теории представлений, теории групп, теории чисел, гомологической алгебры, комбинаторики и алгебраической геометрии.

В книге О.Ю.Шмидта (1916 г.) и монографии А.Г.Куроша (1944, 1953, 1967 гг.) по теории групп точка зрения бесконечных групп выходит уже на первый план. Теория бесконечных групп содержит ряд сложившихся разделов, среди них: абелевы группы; периодические группы; группы с условиями конечности; прямые произведения; свободные группы и свободные произведения; расширения групп; нильпотентные и разрешимые группы; многообразия групп.

Важнейший тип алгебры с двумя бинарными операциями сложения и умножения – кольцо (абелева группа по сложению и законы дистрибутивности для умножения относительно сложения). Вначале изучались кольца с ассоциативным умножением – ассоциативные кольца. Накопление важных примеров коммутативных и некоммутативных ассоциативных колец и результатов об их строении создало основы теории ассоциативных колец. В дальнейшем активно развивалась теория радикалов, артиновы и нетеровы кольца, размерности колец, кольца частных, свободные алгебры и свободные произведения, теория тел и простых алгебр, регулярные кольца, представления алгебр, групповые и полугрупповые алгебры, многообразия колец, градуированные и фильтрованные кольца, нормирования колец, топологические и упорядоченные кольца. Глубокое развитие коммутативной алгебры, в частности, теории полей, неразрывно связано с алгебраической геометрией. Активно изучаются коалгебры и алгебры Хопфа.

Неассоциативные кольца появились в середине 19 в. (числа Кэли). С конца 19 в. в связи с изучением групп Ли в математике появились алгебры Ли (уравнение Гамильтона, скобки Пуассона, тождество Якоби). Термин «алгебра Ли» был введен Г.Вейлем в 1934 г. Роль алгебр Ли возрастала с расширением приложений групп Ли в математике (в первую очередь, в геометрии, в классической и квантовой механике). Теорема Пуанкаре-Биркгофа-Витта о существовании для алгебры Ли универсальной ассоциативной обертывающей является связующим звеном между теориями лиевских и ассоциативных алгебр. Супералгебры Ли заняли существенное место в суперанализе и супергеометрии. Заметное место в теории неассоциативных колец стали занимать альтернативные кольца, йордановы алгебры, алгебры Мальцева.

В начале 20 века работами Диксона (1905 г.), А.К.Сушкевича (1928 г.), Риса (1940 г.), Дюбрея (1941 г.) были заложены основы теории полугрупп (множеств с одной бинарной ассоциативной операцией). Наиболее изучены полугруппы преобразований, регулярные и инверсные полугруппы, многообразия полугрупп, теория представлений полугрупп. Позже появились другие обобщения групп – квазигруппы и лупы.

Важный тип алгебр с двумя бинарными операциями дают решетки (частично упорядоченное множество, в котором каждые два элемента имеют точные верхнюю и нижнюю грани). Примерами решеток являются: система подмножеств множества с операциями теоретико-множественного объединения и пересечения; натуральные числа с операциями наименьшего общего кратного и наибольшего общего делителя; идеалы кольца (нормальные подгруппы группы) с упорядочением по включению; проективная геометрия линейного пространства над полем или модуля над кольцом (т.е. совокупность подпространств или подмодулей, соответственно, с операциями суммы и пересечения).

Понятие решетки восходит к Р.Дедекинду (1894 г.). Наиболее исследованные разделы теории решеток – булевы алгебры, дедекиндовы решетки, дистрибутивные решетки, полные решетки, свободные решетки и многообразия решеток. Как самостоятельное направление (на основе работ Буля, Дедекинда, Шредера, Менгера, Клейна, Дж. Неймана, Стоуна, Л.В. Канторовича) теория решеток сформировалась в 30-х годах 20 в. Этот период отражает книга Г.Биркгофа по теории решеток.

Линейные пространства над полем или телом (или модули над кольцом) можно рассматривать как универсальные алгебры с одной бинарной операцией сложения и с унарными операциями – умножениями на элементы основного поля. Линейная алгебра над полями (телами, кольцами), развивая теорию систем линейных уравнений и теорию матриц, исследует линейные пространства (модули) и их линейные отображения (гомоморфизмы), в частности, их кольца эндоморфизмов и линейные группы, решетки подпространств (подмодулей). Полилинейная и тензорная алгебра исследует полилинейные отображения и тензорные произведения линейных пространств (модулей).

Общая теория произвольных универсальных алгебр была заложена работами Г.Биркгофа первой половины 30-х годов и работами А. Тарского и А.И.Мальцева в 40-х – 50-х годах. В это же время А.И. Мальцев и А.Тарский заложили основы теории моделей, т.е. множеств с отмеченными на них отношениями. В дальнейшем своем развитии теория универсальных алгебр и теория моделей привели к возникновению новой алгебраической дисциплины, граничащей с математической логикой, -- к теории алгебраических систем, изучающей множества с алгебраическими операциями и отношениями. Отметим первые книги в этом направлении с изложениями основ теории универсальных алгебр: А.Г. Курош (1962), П.Кон (1968), А.И.Мальцев (1970).

Компьютерная алгебра исследует алгебраические алгоритмы и их сложность.

↑Связь алгебры с другими областями математики

Ряд разделов математики возник на границе алгебры с другими частями математики и основан на рассмотрении дополнительных структур, согласованных с алгебраическими операциями.

Топологическая алгебра начала свое существование с конкретных топологических полей (вещественных, комплексных, p-адических чисел) и групп Ли. В дальнейшем, были развиты теория топологических полей и тел, теория групп Ли и общих топологических групп, теория топологических колец (в том числе нормированные кольца (банаховы алгебры)), теория топологических полугрупп, теория топологических линейных пространств и топологических модулей.

Теория упорядоченных алгебраических систем включает в себя развитую теорию упорядоченных групп, теорию упорядоченных полей, тел и колец, теорию упорядоченных полугрупп, алгебраические аспекты упорядоченных множеств.

Дифференциальная алгебра – раздел алгебры, изучающий объекты, в которых, наряду с основными операциями, имеются операторы дифференцирования: дифференциальные поля и кольца, дифференциальные модули, дифференциальные алгебраические многообразия. Развитыми направлениями дифференциальной алгебры являются теория Галуа дифференциальных полей, теория дифференциальных алгебраических групп, алгебраических дифференциальных уравнений, теория дифференциальных размерностных многочленов, компьютерная дифференциальная алгебра. Дифференциальная алгебра развивает алгебраический аппарат для теории дифференциальных уравнений, в то время как разностная алгебра развивает алгебраическую технику для разностных уравнений.

С 40-х годов в математику вошло понятие категории, выделяющее ряд алгебраических свойств совокупностей морфизмов однотипных математических объектов (множеств, топологических пространств, групп, модулей и т.п.). Возникший вначале под влиянием алгебраической топологии, в дальнейшем язык категорий и функторов стал играть объединяющую и унифицирующую роль для многих разделов математики (в частности, для анализа вездесущего принципа двойственности). Одним из наиболее развитых разделов теории категорий является теория абелевых категорий, в рамках которой осуществляются основные построения гомологической алгебры. Активно развивается теория топосов.

Гомологическая алгебра возникла как раздел алгебры, основным объектом изучения которого являются производные функторы на различных категориях алгебраических объектов (модулей над данным кольцом, пучков и т.д.). Одним из истоков гомологической алгебры явилась теория гомологий топологических пространств. В свою очередь, в алгебре в связи с изучением расширений групп фактически рассматривались первая и вторая группы гомологий и когомологий. Группы когомологий групп во всех размерностях были введены С.Эйленбергом и С.Маклейном (1943 г.), Д.К.Фаддеевым (1947 г.). Значительный подготовительный материал был разработан в теории ассоциативных алгебр, алгебр Ли, в теории квадратичных форм. В середине 40-х годов 20 в. гомологическая алгебра выделяется в самостоятельную область алгебры с развитой теорией производных функторов, резольвент, спектральных последовательностей, гомологических умножений, гомологий и когомологий алгебр. Могография А.Картана и С.Эйленберга достаточно полно представила основы гомологической алгебры. Методы гомологической алгебры широко используются в самых различных разделах математики – в функциональном анализе, в теории функций комплексного переменного, в теории дифференциальных уравнений, в K-теории, в алгебраической геометрии, в алгебраической теории чисел.

↑Приложения алгебраических методов

Алгебраические методы широко применяются практически во всех разделах математики. Например, современная логика широко использует булевы алгебры и другие алгебры логики. В теории чисел фундаментальную роль играет алгебраическая теория чисел. В функциональном анализе алгебра существенна в теории операторов, в теории меры, в теории представлений, в K-теории и в гомологической алгебре банаховых алгебр, в некоммутативной геометрии. Алгебраическим аппаратом дифференциальных и разностных уравнений является дифференциальная и разностная алгебра, соответственно. В топологии важную роль играет алгебраическая топология. В K-теории выделилась алгебраическая K-теория. В геометрии сложились такие области как проективная геометрия, тензорная алгебра, алгебраическая геометрия. Отметим, что теоремы пересечения в проективной геометрии формулируются в терминах алгебр с делением. Это послужило основанием для рассмотрения алгебр с (полиномиальными) тождествами, которые нашли широкое применение в комбинаторике и алгебре. Теория алгебраической сложности помогает оптимизировать вычисления, связанные с системами линейных уравнений, матрицами, детерминантами, обращением матриц.

В современной математике прослеживается тенденция к дальнейшей «алгебраизации» математики, позволяющей применить для решения содержательных математических задач мощный аппарат формальных алгебраических вычислений.

Наряду с фундаментальной ролью внутри математики алгебра имеет огромное прикладное значение. Отметим роль линейной алгебры в численных методах, компьютерной алгебры и алгебраической теории автоматов в информатике и кибернетике, алгебраической теории кодирования в кодировании и криптографии, теории дискретных групп в кристаллографии, теории булевых алгебр в теории релейно-контактных схем, теории представлений групп в квантовой механике, теории линейных неравенств в экономике.

↑Рекомендуемая литература

1. История математики с древнейших времен до начала 19 столетия. Т. 1—3, М., 1970—72.

2. Математическая энциклопедия, М.: Советская энциклопедия, 1977.

3. Энциклопедия для детей, Т. 11, Математика. М.: Аванта, 1998.

4. Общая алгебра, Т.1,2, под ред. Л.А.Скорнякова. М.: Наука, 1991.

5. Handbook in Algebra. V. 1--6. Ed. M.Hazewinkel. Elsevier, 2000--2010.

6. The Concise Handbook of Algebra, Ed. A.V.Mikhalev, G.F.Pilz. Kluwer, 2002.

7. Артамонов В.А., Латышев В.Н., Линейная алгебра и выпуклая геометрия, М.: Факториал Пресс, 2004.

8. Артамонов В.А., Словохотов Ю.Л. Группы и их приложения в физике, химии и кристаллографии. М.: Академия, 2005.

9. Биркгоф Г., Теория структур. Пер. с англ. М., 1952; Теория решеток, М., 1984.

10. Биркгоф Г., Барти Г., Современная прикладная алгебра. Пер. с англ., М., 1976.

11. Бурбаки Н., Алгебра. Алгебраические структуры. Линейная и полилинейная алгебра, пер. с франц., М., 1962

12. Ван дер Варден Б.Л., Алгебра, пер. с нем., М., 1976.

13. Винберг Э.Б., Курс алгебры. М.: Факториал Пресс, 2002.

14. Глухов М.М., Елизаров В.П., Нечаев А.А., Алгебра, Т.1,2.

 М.: Гелиос АРВ, 2003.

15. Картан А., Эйленберг С. Гомологическая алгебра. Пер. с англ., М., 1960.

16. Колмогоров А.Н., Математика. Математический энциклопедический словарь. М., 1988, 7—38.

17. Кон П., Универсальная алгебра, пер. с англ., М., 1968.

18. Кострикин А.И., Введение в алгебру. Ч. 1. Основы алгебры; ч.2. Линейная алгебра; ч.3. Основные структуры алгебры, М., 2000.

19. Куликов Л.Я., Алгебра и теория чисел. М.: Высшая школа, 1979.

20. Курош А.Г., Курс высшей алгебры, 10-е изд., М., 1971.

21. Курош А.Г. Теория групп, М., 1944; 2-е изд., М., 1953; 3-е изд., М., 1967.

22. Курош А.Г., Лекции по общей алгебре, М., 1962.

23. Ленг С., Алгебра. Пер. с англ., М., 1968.

24. Лидл Р., Пильц Г., Прикладная абстрактная алгебра. Екатеринбург, УрГУ, 1996.

25. Мальцев А.И., Алгебраические системы. М., 1970.

26. Михалев А.В., Михалев А.А., Начала алгебры. Ч. 1, М.: Интуит, 2005.

27. Мишина А.П., Проскуряков И.В., Высшая алгебра. Линейная алгебра, многочлены, общая алгебра. Справочная математическая библиотека. М., 1962.

28. Ноден П., Ките К., Алгебраическая алгоритмика. М.: Мир, 1999.

29. Понтрягин Л.С., Непрерывные группы, М.-Л., 1938; 2-е изд., М., 1954: 3-е изд., М., 1973.

30. Скорняков Л.А., Элементы общей алгебры. М.:ФМ, 1983.

31. Фаддеев Д.К., Лекции по алгебре. М.: ФМ, 1984.

32. Фаддеев Д.К., Фаддеева В.Н., Вычислительные методы линейной алгебры, М., 1960.

33. Шафаревич И.Р., Основные понятия алгебры. Итоги Науки и Техники ВИНИТИ, М., 1986; Ижевск, 1999.

34. Шмидт О.Ю., Абстрактная теория групп, Киев, 1916; 2-е изд., Л., 1933.

35. Cohn P.M., Algebra. Vol. 1,2. Wiley, 1974, 1989.

36. Gathen J., Gerhard J., Modern Computer Algebra. 2^nd ed. Cambridge Univ. Press, 2003.

37. Hardy D.W., Richman F., Walker C.L., Applied Algebra. Codes, Ciphers, and Discrete Algorithms. 2^nd ed. CRC Press, 2009.

38. MacLane S., Birkhoff G., Algebra. 3^rd ed. AMS, 1999.