Математическая биология

Современная биология широко применяет математические и компьютерные методы. Без использования математических методов было бы невозможным выполнение таких глобальных проектов, как геном человека, расшифровка пространственной структуры сложных биомакромолекул, дистанционная диагностика, компьютерное моделирование новых эффективных лекарств («драг- дизайн»), планирование мероприятий по предотвращению распространения эпидемий, анализ экологических последствий работы промышленных объектов, биотехнологические производства и многое другое.

Бурное внедрение математических методов в биологию в последние десятилетия связано в первую очередь с развитием экспериментальных физико-химических методов биологических исследований. Рентгеноструктурный и спектроскопические (ЯМР, ЭПР) методы, анализ последовательности ДНК невозможны без математической обработки результатов эксперимента.

С другой стороны, применение математических методов способствовало пониманию законов, лежащих в основе многих биологических процессов. Многочисленные примеры приведены в рекомендованной литературе. Среди них – свойства циклических колебаний численностей популяций, принцип конкурентного исключения Гаузе для конкурирующих видов, пороговая теорема в математической эпидемиологии, условия распространения нервного импульса, условия возникновения разного типа автоволновых процессов в активных тканях, в частности в сердечной мышце и многие другие.

Биологические задачи инициировали создание новых математических теорий, которые обогатили саму математику. Первая известная математическая модель численности популяции кроликов Леонардо из Пизы (13 век) представляет собой ряд Фибоначчи. Более поздние примеры новых математических постановок дают задачи рождения и гибели, диффузионные процессы, системы с кросс-диффузией в уравнениях с частными производными, новые типы краевых задач для уравнений переноса, эволюционная теория игр, системы репликаторных уравнений. Основы современной статистики были заложены Р. Фишером, который также изучал биологические проблемы.

↑Математические модели в биологии

Первые систематические исследования, посвященные математическим моделям в биологии, принадлежат А.Д. Лотке (1910-1920 гг). Его модели и сейчас не утратили значения. Основателем современной математической теории биологических популяций справедливо считается итальянский математик Вито Вольтерра, разработавший математическую теорию биологических сообществ, аппаратом которой служат дифференциальные и интегро- дифференциальные уравнения. (Vito Volterra. Lecons sur la Theorie Mathematique de la Lutte pour la Vie. Paris, 1931). В последующие десятилетия популяционная динамика развивалась, в основном, в русле высказанных в этой книге идей. В.Вольтерра принадлежит самая знаменитая «биологическая модель» сосуществования видов типа хищник-жертва (1928 г.), которая входит во все учебники по теории колебаний. Русский перевод книги Вольтерра вышел в 1976 г. под названием: «Математическая теория борьбы за существование» под редакцией и с послесловием Ю.М.Свирежева, где рассматривается история развития математической экологии в период 1931‑1976 гг. Начиная с сороковых годов 20 века, математические модели заняли прочное место в микробиологии: работы Моно (1942), Новика и Сцилларда (1950) позволили описать закономерности роста популяций одноклеточных организмов.

Основополагающей для развития математических моделей пространственно-временного поведения биологических систем стала работа Алана Тьюринга, “ Химические основы морфогенеза” (Turing, 1952) заложившая основу динамического подхода к моделированию распределенных биологических систем. В ней впервые показана возможность существования в активной кинетической среде стационарных и неоднородных структур. Полученные в этой работе фундаментальные результаты легли в основу большого числа моделей морфогенеза, описывающих раскраску шкур животных (Murray 1993; Мюррей, 2009), образование раковин (Meinhardt 1995), морских звезд и других живых организмов.

Важную роль сыграли математические модели в изучении механизмов генерации нервного импульса. А. Ходжкин и Э. Хаксли наряду с экспериментальным исследованием предложили модель, описывающую процессы ионного транспорта через мембрану и прохождение импульса потенциала вдоль мембраны. Работа британских ученых была удостоена Нобелевской премии 1963 г. (вместе с сэром Джоном Эклсом, Австралия).

Объяснению механизма сердечных аритмий при помощи аксиоматических моделей возбудимой среды была посвящена первая в этой области работа Н. Винера и А. Розенблюта (Wiener and Rosenblueth 1946). Русский перевод опубликован в книге: Кибернетический сборник. Вып.3. М. ИЛ, 1961. В более общей форме сходные идеи были развиты советскими учеными Гельфандом и Цетлиным (Гельфанд и др., 1963; Гельфанд и др., 1966), а затем и другими авторами на моделях клеточных автоматов. При построении моделей учитывали, что процесс возникновения и распространения возбуждения в биологических объектах, в частности, в нервных тканях обладает рядом четко выраженных свойств, отправляясь от которых можно построить формальную модель этого явления.

↑Российские научные школы

Российские научные школы внесли большой вклад в развитие математической биологии. А.Н. Колмогоров, И.Г. Петровский, Н.С. Пискунов в 1937 г. в работе “Исследование уравнения диффузии, соединенной с возрастанием вещества, и его применение к одной биологической проблеме” решили задачу о предельной скорости перемещения фронта волны и определили предельную форму фронта. Эта работа стала классической и положила начало развитию теоретического и экспериментального изучения автоволновых явлений в системах разной природы.

Российским биофизикам В.И. Кринскому, Г.Р. Иваницкому и др. принадлежит серия блестящих работ, положивших начало экспериментальному изучению и теоретическому описанию возбудимых тканей (Иваницкий, Кринский, Сельков. «Математическая биофизика клетки». 1978). В настоящее время направление по изучению и компьютерному моделированию процессов нервного проведения и распространения волн в сердечной мышце интенсивно развивается. Последние достижения в этой области представлены в книге «Динамические модели процессов в клетках и субклеточных наноструктурах», 2010. Наиболее продвинутые модели учитывают сопряжение электрических и механо-химических процессов, структурную и геометрическую неоднородность сердца.

Российским ученым Б.П. Белоусовым (Белоусов 1959, 1981) был открыт класс химических реакций, позволяющих наблюдать на опыте практически все известные в настоящее время типы поведения распределенных систем. А.М. Жаботинский с сотрудниками подробно исследовали свойства этих реакций и условия их протекания, им также была предложена первая математическая модель наблюдаемого явления (Жаботинский, 1975). В дальнейшем реакцию Белоусова-Жаботинского (BZ-реакцию), как модель распределенной системы, демонстрирующей различные типы пространственно-временной организации, исследовали в сотнях лабораторий мира ( Field. and Burger 1985; Филд and Бургер 1988; Ванаг, 2008). Был разработан ряд моделей для описания протекающих процессов, наиболее известными являются модель «Орегонатор», предложенная исследователями из университета Орегоны, США (Field., Koros et al. 1972; Field. and Noyes 1974), и модель «пущинатор», предложенная исследователями из Научного центра биологических исследований г. Пущино (Rovinsky and Zhabotinsky 1984).

Российские ученые внесли большой вклад в развитие математической теории динамики популяций. Это, в первую очередь, работы коллективов Института Математических проблем биологии РАН (до 1992 г. – Научный Вычислительный центр РАН) под руководством А.М.Молчанова (А.Д.Бызыкин, Ф.С.Березовская, А.И.Хибник) и коллектива сотрудников Вычислительного центра РАН под руководством Ю.М.Свирежева (Д.О. Логофет, А. Тарко, В. Разжевайкин, Д. Саранча, Н. В. Белотелов, В. Пасечник, В.В. Шакин и др.). В ВЦ РАН под руководством академика Н.Н.Моисеева в 70-80 годы 20 века проводились работы по глобальному и региональному моделированию. Здесь была создана знаменитая модель «ядерной зимы».

Значительный вклад в развитие методов моделирования процессов в энергопреобразующих мембранах внесли ученые МГУ. Кинетические модели первичных процессов фотосинтеза разработаны учеными Биологического (А.Б. Рубин, Г.Ю. Ризниченко, Н.Е. Беляева) и физического (А.К.Кукушкин, А.Н. Тихонов, В.А.Караваев, С.А. Кузнецова). В последние годы на кафедре биофизики Биологического факультета МГУ активно ведутся работы по разработке нового метода прямого многочастичного компьютерного моделирования процессов в субклеточных системах (А.Б.Рубин, Г.Ю.Ризниченко, И.Б. Коваленко. Д.М.Устинин)

Большую роль в становлении математической биологии России сыграли научные разработки и книги коллектива авторов Ю.М. Романовского, Н.В. Степановой (Физический факультет МГУ) и Д.С. Чернавского (ФИАН): « Математические модели в биофизике» М., 1976; « Математическая биофизика» М., 1984; « Математическое моделирование в биофизике. Введение в теоретическую биофизику » М-Ижевск, 2004. В них рассматриваются основы биологической кинетики, модели эволюции и развития в биологии, модели роста клеточных популяций, автоволны в распределенных кинетических системах, статистические аспекты биологической кинетики. Это направление продолжает развиваться в ФИАНе ( А А. Полежаев, В.И. Волков и др.)

↑Учреждения, где проводятся работы по математическому моделированию в биологии

В современной России работы по математическому моделированию в биологии проводятся в ряде научно-исследовательских институтов и ВУЗов. Одно из ведущих мест принадлежит научному центру в г. Пущино, где в 1972 г. был организован научный вычислительный центр РАН (Директор – А.М. Молчанов), который в 1992 г. получил статус Института математических проблем биологии РАН. Нынешний директор ИМПБ – В.Д.Лахно, который также является председателем Научного Совета РАН по математической биологии и биоинформатике. ИМПБ РАН является ведущим научным учреждением по данной проблеме и издает электронный журнал «Математическая биология и биоинформатика»

Работы по математическому моделированию биологических процессов ведутся также в других учреждениях Пущинского научного центра РАН: Институте биофизики клетки РАН. директор - чл.-корр. РАН Е.Е.Фесенко (в основном по молекулярно-динамическому и квантово-механическому моделированию процессов в биомакромолекулах) и Институте теоретической и экспериментальной биофизики РАН, директор – чл.-корр. РАН Г.Р.Иваницкий (моделирование процессов самоорганизации в активных средах, автоволновны в живых клетках и биополимерах ).

В научной школе академика Г. И Марчука активно развиваются методы моделирования применительно к медицине, в частности, разрабатываются модели иммунитета и распространения эпидемий.

Исследования биологических систем с использованием математических моделей проводятся в Институте биофизики СО РАН (Красноярск, Институте генетики СО РАН (Новосибирск), в университетах Нижнего Новгорода, Саратова, Ростова-на-Дону, Ярославля, в Государственном университете «Московский физико-технический институт», в Национальном исследовательском ядерном университете «МИФИ» и др.

Работы по математическому моделированию в биологии в МГУ активно ведутся на Биологическом факультете (модели первичных процессов фотосинтеза и других процессов в субклеточных и клеточных системах, молекулярная динамика белков и биомембран), Физическом факультете МГУ ( модели молекулярных машин) , факультете Вычислительной математики и кибернетики (популяционная динамика, математическая экология, эволюционные модели, модели управления), Механико-математическом факультете (модели вестибулярного аппарата, модели растительных сообществ).

↑Периодические издания

Статьи по математическим моделям в биологии регулярно публикуются в журналах:

• «Биофизика» (М., 1956 —),
• «Bulletin of Mathematical Biophysics» (1939 —1972 ); «Bulletin of Mathematical Biology» (1972-); Jurnal of Theoretical biology (1961 —),
• Journal of Mathematical biology (1974-);
• Ecological modeling (1975—),
• Компьютерные исследования и моделирование (2009 —).

Отдельные статьи по математическому моделированию также печатаются в журналах:

• Успехи физических наук (1918 -)
• Вестник Московского университета
• BioSystems (1967)
• Journal of Biological Systems (1993)
• Computational and Mathematical Methods in Medicine (1997)
• Mathematical Biosciences (1967)
• Mathematical Biosciences and Engineering
• PNAS (1915)
• Science Magazine (1880)
• Journal Nature (1869)
• Acta Biotheoretica (1935)
• Comments on Theoretical Biology
• Rivista de Biologia / Biology Forum (1996)
• Systema Naturae / Annali di Biologia Teorica (1998)
• Theoretical and Applied Genetics (1929)
• Theoretical Medicine and Bioethics (1980)
• Theoretical Population Biology ()
• Theory in Biosciences / Theorie in den Biowissenschaften
• Mathematical Modeling of Natural Phenomena (2006)

↑Издания

Книги по математическому моделированию в биологии публикуются издательством РХД-ИКИ в серии «Биофизика. Математическая биология», Наука, URSS и другими издательствами научной и образовательной литературы.

Большое число русскоязычных работ по математической биологии представлено на сайте "Динамические модели в биологии"

↑Рекомендуемая литература

Базыкин А.Д. Нелинейная динамика взаимодействующих популяций. Изд. ИКИ-РХД, М-Ижевск, 2003

Братусь А.М., Новожилов А.П., Платонов А.П. Динамические системы и модели в биологии. М., Физматлит. 2010

Динамические модели процессов в клетках и субклеточных наноструктурах. Под ред. Г.Ю.Ризниченко, А.Б.Рубина. Изд. РХД, М-Ижевск, 2010

Иваницкий Г.Р., Кринской В.И., Сельков Е.Е. Математическая биофизика клетки. Наука, 1978

Мюррей Д. Математическая биология. Том 1. Введение. Изд. ИКИ-РХД, М-Ижевск, 2009

Мятлев В.Д., Панченко Л.А., Ризниченко Г.Ю., Терехин А.Т. Высшая математика и ее приложения к биологии. Теория вероятностей и математическая статистика. Математические модели. Академия. М., 2009

Ризниченко Г.Ю. Лекции по математическим моделям в биологии. Изд. РХД, М-Ижевск, 2003 .

Ризниченко Г.Ю., Рубин А.Б. Биофизическая динамика продукционных процессов. Изд. ИКИ-РХД, М-Ижевск, 2004

Романовский Ю.М., Степанова Н.В., Чернавский Д.С. Математическое моделирование в биофизике. Изд. ИКИ-РХД, 2004

Рубин А.Б. Биофизика. Т. I. М., 2004. Т. 2. М., 2004 (изд. 3-е)

Свирежев Ю.М., Логофет Д.О. Устойчивость биологических сообществ. М., Наука. 1978

Свирежев Ю.М. Нелинейные волны. Диссипативные структуры и катастрофы в экологии. М., Наука, 1987

Смирнова О.А. радиация и организм млекопитающих: модельный подход. Изд. РХД, М-Ижевск, 2006