Математическая физика

Категории Математическая физика | Под редакцией сообщества: Математика

Математическая физика – это теория математических моделей физических явлений. Она относится к математическим наукам; критерий истины в ней – математическое доказательство.

Однако, в отличие от чисто математических наук, в МФ исследуются физические задачи на математическом уровне, а результаты представляются в виде теорем, графиков, таблиц и т.д. и получают физическую интерпретацию. При таком широком понимании математической физики к ней следует относить и такие разделы механики, как теоретическая механика, гидродинамика и теория упругости. Математические модели физических явлений можно условно разделить на модели, основанные на линейных дифференциальных уравнениях, нелинейных дифференциальных уравнениях и интегродифференциальных уравнениях. Все большую роль в создании и верификации математических моделей физических процессов настоящее время приобретают методы численного эксперимента.

Первоначально математическая физика сводилась к краевым задачам для дифференциальных уравнений. Это направление составляет предмет классической математической физики, которая сохраняет важное значение и в настоящее время. Классическая математическая физика развивалась со времён Ньютона параллельно с развитием физики и математики. В конце XVII в. было открыто дифференциальное и интегральное исчисление (И. Ньютон, Г. Лейбниц) и сформулированы основные законы классической механики и закон всемирного тяготения (И. Ньютон). В XVIII в. методы математической физики начали формироваться при изучении колебаний струн, стержней, маятников, а также задач, связанных с акустикой и гидродинамикой; закладываются основы аналитической механики (Ж. Даламбер, Л. Эйлер, Д. Бернулли, Ж. Лагранж, К. Гаусс, П. Лаплас). В XIX в. методы математической физики получили новое развитие в связи с задачами теплопроводности, диффузии, теории упругости, оптики, электродинамики, нелинейными волновыми процессами и т.д.; создаются теория потенциала, теория устойчивости движения (Ж. Фурье, С. Пуассон, Л. Больцман, О. Коши, М.В. Остроградский, П. Дирихле, Дж.К. Максвелл, Б. Риман, С. В. Ковалевская, Д. Стокс, Г.Р. Кирхгоф, А. Пуанкаре, А.М. Ляпунов, В. А. Стеклов, Д. Гильберт, Ж. Адамар). В XX в. возникают новые задачи газовой динамики, теории переноса частиц и физики плазмы.

Основными математическими средствами исследования задач классической математической физики служат теория дифференциальных и интегральных уравнений, теория функций и функ-циональный анализ, вариационное исчисление, теория вероятностей, приближённые методы и вычислительная математика. Среди задач математической физики выделяется важный класс корректно поставленных задач по Адамару, т.е. задач, для которых решение существует, единственно и непрерывно зависит от данных задачи. Хотя эти требования на первый взгляд кажутся совершенно естественными, их, тем не менее, необходимо доказывать в рамках принятой математической модели. Доказательство корректности – это первая апробация математической модели: модель непротиворечива (решение существует), модель однозначно описывает физический процесс (решение единственно), модель малочувствительна к погрешностям измерений физических величин (решение непрерывно зависит от данных задачи).

В XX в. появляются новые разделы физики: квантовая механика, квантовая теория поля, квантовая статистическая физика, теория относительности, гравитация (А. Пуанкаре, Д. Гильберт, П. Дирак, А. Эйнштейн, Н. Н. Боголюбов, В.А. Фок, Э. Шрёдингер, Г. Вейль, Р. Фейнман, Дж. фон Нейман, В. Гейзенберг). Для изучения этих явлений множество используемых математических средств значительно расширяется: наряду с традиционными областями математики стали широко применяться теория операторов, теория обобщённых функций, теория функций многих комплексных переменных, топологические и алгебраические методы, теория чисел, p-адический анализ, асимптотические и вычислительные методы. С появлением ЭВМ существенно расширился класс математических моделей, допускающих детальный анализ; появилась реальная возможность ставить вычислительные эксперименты, например моделировать взрыв атомной бомбы или работу атомного реактора в реальном масштабе времени. В этом интенсивном взаимодействии современной теоретической физики и современной математики оформилась новая область – современная математическая физика. Её модели не всегда сводятся к краевым задачам для дифференциальных уравнений, они часто формулируется в виде системы аксиом. Эту тенденцию в развитие ТФ XX в. хорошо понимал П. Дирак.

Ещё в 1930 г. он в своей известной статье, в которой теоретически предсказал существование позитрона, писал: “Кажется вероятным, что этот процесс непрерывного абстрагирования будет продолжаться и в будущем и что успех физики должен в большей степени опираться на непрерывные модификации и обобщения аксиом на математической основе.”