Мезоскопическая физика

Мезоскопическая физика – раздел физики твердого тела, в котором рассматривается совокупность явлений, наблюдающихся в телах конечных размеров, содержащих микроскопические неоднородности. Эти явления связаны с невозможностью усреднить свойства тел по различным реализациям случайных неоднородностей. Слово "мезо" происходит от греческого mesos (средний, промежуточный). Под микрообъектами физики подразумевают системы, имеющие размер атома и меньше. В то же время под макрообъектами подразумеваются объекты, в которых из-за неупругих столкновений теряется квантовая когерентность волновых функций частиц, то есть становится невозможной их интерференция. Это происходит из-за неупругих столкновений электронов (например, при рассеянии на фотонах), при которых сбивается фаза электронной волновой функции. Частота таких столкновений пропорциональна , где – время сбоя фазы волновой функции. Размер макрообъектов больше длины сбоя фазы (длины диффузии), обозначаемой обычно , где D – коэффициент диффузии электронов. Он играет роль характерного масштаба при рассмотрении эффектов, где важна интерференция волновой функции. К таким эффектам относятся: слабая локализация, универсальные флуктуации проводимости, эффект Ааронова–Бома. К задачам мезоскопической физики относится нахождение квантовых поправок к проводимости макроскопических образцов.

Границы макроскопической области существенно зависят от температуры и характера движения частиц (является ли он баллистическим или диффузионным). Следует заметить, что согласно данному выше определению к мезоскопической физике относятся не только явления в устройствах с мезоскопическими размерами, но и явления в макроскопических устройствах, которые происходят на мезоскопических масштабах, то есть определяются интерференцией волновых функций. Например, отличие сопротивления R конкретного образца от значения R, полученного усреднением по множеству одинаковых образцов, но с индивидуальным для каждого образца пространственным расположением рассеивающих центров. Это отличие называется мезоскопической флуктуацией .В образцах большого объёма V мезоскопические флуктуации малы и обратно пропорциональны объему – . Для не слишком больших имеет место распределение Гаусса. При уменьшении размеров тела L флуктуации возрастают, пока , где a − межатомное расстояние. При величина не зависит от L и функция распределения в общем случае отличается от гауссовской{ref:r1}.

При этом термодинамические и кинетические параметры становятся так называемыми «несамоусредняющимися» величинами, то есть такими, для которых средняя отно­сительная флуктуация не уменьшается, а, наоборот, растет при увеличении размеров системы до тех пор, пока не нарушится неравенство . При самоусредняемость восстанавли­вается. Несамоусредняемость параметров х_i означает, что они описываются более широкой, чем гауссова, функцией распределе­ния, при которой квадрат средней величины не равен средней от квадрата величины и т. д. Причиной несамоусредняемости является отли­чие усреднения по расположению примесей от термодинамическо­го усреднения по ансамблям.

При отсутствии самоусреднения свойства двух макроскопических образцов с , состоящих из большого числа атомов или молекул и изготовленных в одинаковых условиях, в действительности могут существенно отличаться. Отсутствие самоусреднения теоретически было показано А. Абрикосовым и И. Рыжкиным для одномерных грязных металлов (цепочка атомов с примесями), име­ющих длину{ref:r2}. Отсюда следует, что свойства систем с и отличаются на качественном уровне и экстрапо­ляция свойств через значение некорректна.

Обратим внимание на самое важное обстоятельство, что при возникает отличие в свойствах двух образцов, содержащих большое число атомов, от которых можно было бы ожидать вполне макроскопического поведения. Оценки показывают, что мезоскопические эффекты (то есть отсутствие самоусредняемости параметров) при T £ 0,1 К могут наблюдаться в образцах микронных размеров, которые характерны, например, для элементов больших интегральных микросхем в твердотельной электронике.

Необычное поведение макроскопического образца, имеющего мезоскопические размеры, является следствием квантовой интерференции электронных волн, которая характерна для конкретной конфигурации упругих рассеивателей в образце. Таким образом, мезоскопические эффекты имеют ту же природу, что и интерфе­ренционные квантовые поправки к проводимости. Мезоскопические эффекты исче­зают при усреднении по конфигурации примесей.

Вначале экспериментаторы, изучавшие гальваномагнитные явления в полупроводниках и металлах, обнаружили эффект, называемый отрицательным магнетосопротивлением. Необычность его заключалась в том, что при приложении магнитного поля сопротивление обычного проводника при низких температурах не увеличивалось, как предсказывают все классические теории магнетосопротивления, а уменьшалось. Кроме того, при понижении температуры, в области низких температур, сопротивление проводника начинало расти, что не могло быть объяснено существующими теориями. В настоящее время это явление называется слабой локализацией. В течение тридцати лет после первого наблюдения в 1949 г. отрицательное магнетосопротивление пытались объяснить разного рода теориями, но все они не имели успеха. И только в 1979 г. оно действительно было объяснено, причем как универсальное явление, которое должно наблюдаться в любом металлическом проводнике при определенных условиях.

Было установлено, что правильный учет интерференции электронов при их диффузионном движении в поле случайно расположенных рассеивателей приводит к тому, что надо учитывать так называемые квантовые интерференционные поправки. Интерференция приводит к тому, что электрону требуется большее время для преодоления определенного пути, что увеличивает сопротивление проводника. Таким образом, наконец, удалось показать, что квантовая интерференция может радикальным образом менять сопротивление. В таком сценарии и было объяснено отрицательное магнетосопротивление как результат подавления квантовой интерференции магнитным полем. В 1981 г. советскими теоретиками Б. Альтшулером, А. Ароновым, А. Ларкиным и Д. Хмельницким была построена количественная теория этого явления, и результаты огромного числа экспериментов с самыми различными проводниками (металлические пленки, сильнолегированные полупроводники, поликристаллические и аморфные проводники, инверсионные каналы в транзисторах и т.д.), выполненные как до ее появления, так и после, дали количественное согласие с ней. При конечной температуре фазовая когерентность электронных волн не сохраняется бесконечно долго, а в результате неупругих столкновений (например, электронов друг с другом) ограничена временем фазовой когерентности. Чем меньше температура, тем больше и время, и длина фазовой когерентности. Например, при температуре жидкого гелия эта длина равна примерно одному микрону во многих металлических системах, и как раз измерение отрицательного магнетосопротивления позволяет ее определить.

Типичным примером мезоскопического поведения являются магнетополевые осцилляции сопротивления полого цилиндра, высота которого Н меньше, чем длина , на которой теряется когерентность электронных волн. Фактически это кольцо площадью S шириной b с двумерными электронами. Осцилляции магнетосопротивления в кольце в слабом перпендикулярном магнитном поле были предсказаны теоретически Ароновым и Бомом в 1959 г.{ref:r3}.

Рассмотрим электронные траектории в кольце. Пусть одна из таких траекторий выходит из какой-то точки А и приходит в какую-то другую точку В (Рис. 1).

Вторая траектория выходит из той же точки А и приходит в точку В, на при этом огибает отверстие с другой стороны. Разность фаз между этими траекториями равна , где интеграл берется по замкнутому контуру, образованному двумя траекториями. После преобразования второе слагаемое превращается в , и при изменении потока на это слагаемое меняется на . Рассмотрим теперь первое слагаемое. В кольце усреднение за счет первого слагаемого не происходит. Вклад же в интерференцию от траекторий, проходящих по окружности по и против часовой стрелки, для колечка есть. Вследствие этого в колечке должны наблюдаться осцилляции сопротивления с периодом , где – квант потока. Такие осцилляции наблюдались экспериментально в 1984 г. на микронных металлических колечках, выполненных в виде пленки{ref:r4}. Пример осцилляций сопротивления приведен на рис. 2.

Возьмем теперь полый цилиндр высотой H (рис. 3). Пусть траектории выходят из точки А и приходят в точку В. Рассмотрим опять первое слагаемое. Это слагаемое для разных траекторий 1,1', 2,2' и т. д., расположенных в цилиндрической полоске с высотой Н >, или, что то же самое, для разных конфигураций рассеивателей, дает большой набор разностей фаз.

Усреднение по разным траекториям обращает в нуль соответствующий вклад в интерференцию электронных волн. Таким образом, в цилиндре с высотой H > осцилляции с периодом не возникают в результате усреднения по конфигурации примесей. Однако есть траектории электронов, распространяющихся по разным путям и возвращающихся в ту же точку. Интерференция таких электронных волн приводит в слабом магнитном поле параллельном оси цилиндра к осцилляциям с периодом в два раза меньшим , что соответствует кванту потока в сверхпроводнике. Экспериментально осцилляции магнетосопротивления полого цилиндра с периодом были обнаружены в 1981 г. Ю.В. и Д.Ю. Шарвинами{ref:r5}.

Таким образом, в отличие от длинного цилиндра с H> в тонком кольце с H < нет усреднения по конфигурациям примесей. Осцилляции с периодом в колечке, по существу, соответствуют аномально большим (из-за мезоскопичности образца) периодическим флуктуациям, которые исчезают в длинном цилиндре при нарушении условия мезоскопичности H < в результате усреднения по различным конфигурациям примесей.

В связи с этим отметим, что в колечке, помимо осцилляционного эффекта с периодом (имеющего, как мы показали, флуктуационную природу), в вероятности рассеяния имеются и другие интерференционные члены, которые сильно зависят от магнитного поля и приводят к беспорядочным (непериодическим) флуктуациям на кривой магнетосопротивления. Отметим, однако, что эти флуктуации не являются шумом, так как они не меняются во времени, а отражают конкретную картину случайного распределения примесей в колечке и идеально воспроизводятся при повторении записи кривой магнетосопротивления (рис. 4). Будет наблюдаться, как говорят физики, занимающиеся мезоскопикой, "трава".

Другим характерным примером мезоскопического эффекта являются флуктуации тока (или вольт-амперной характеристики) тонкой металлической проволочки длиной L и диаметром d, которые удовлетворяют условиям , где – длина свободного пробега электрона (рис. 5).

Рассмотрим интерференцию между электронами в такой проволочке. Она, очевидно, возможна только между электронами с близкими энергиями. Допустимый интервал энергий интерферирующих электронов при этом определяется из условия, чтобы разность фаз на границах этого интервала была порядка : , где S – полная длина пути, проходимого частицей. Если длина диффузии электронов равна , то время диффузии , ( – фермиевская скорость электронов). Следовательно, электроны интерферируют только в пределах интервала энергии или в пределах изменения напряжения на вольт-амперной характеристике . Если вольт-амперная характеристика измеряется при изменении напряжения от 0 до V и , то область напряжений от нуля до V распадается на интерференционно независимых интервалов: электроны, соответствующие разным интервалам, не интерферируют между собой. Рассмотрим, какова интерференционная добавка к току, соответствующая одному из этих интервалов. По порядку величины она составляет , где – интерференционная поправка к проводимости. Отсюда следует, что . Однако следует обратить внимание, что различные интервалы, в которых происходит интерференция, не скоррелированы между собой и соответствующие вклады в ток могут иметь разный знак. Суммарный вклад можно определить тем же способом, которым находится расстояние Х, проходимое частицей при диффузионном движении: , где – длина свободного пробега, проходимая в одном акте «свободного» движения (в нашем случае она соответствует ), а – полная длина ломаного пути диффундирующей частицы (в нашем случае она соответствует полному интервалу напряжений V).

Таким образом, суммарный эффект (амплитуда) флуктуации тока равен . Эти флуктуации налагаются в виде нерегулярной волнистой линии («травы») на регулярную кривую, отвечающую закону Ома (см. рис. 5). Отметим, что отношение по порядку величины равно , т. е. растет с увеличением напряжения V. В том случае, когда т. е. при на вольт-амперной характеристике появляются участки с отрицательным наклоном (N-образные участки, отвечающие отрицательной дифференциальной проводимости).

Мезоскопические флуктуации вольт-амперной характеристики наблюдаются не только в проволочках, но и в микроконтактах. Интересно отметить полностью некоррелированный характер мезоскопических флуктуаций двух различных кинетических коэффициентов малых металлических образцов, если один из них пропорционален производной другого по какому-нибудь параметру. Характерным примером таких коэффициентов являются проводимость и термоЭДС . Проводимость пропорциональна концентрации носителей тока n, тогда как термоЭДС пропорциональна логарифмической производной проводимости . При дифференцировании флуктуирующей добавки к проводимости возникает новая флуктуирующая зависимость, коррелятор которой с флуктуациями первообразной равен нулю: . Отсутствие корреляции флуктуаций и хорошо наблюдается, если сопоставлять, например, флуктуирующие зависимости этих величин от магнитного поля.

В настоящее время обнаружено довольно много мезоскопических эффектов и приведенные выше примеры не единственны. Все мезоскопические эффекты исчезают при повышении температуры и размеров образца. Это связано не только с уменьшением но и с изменением распределения электронов по энергиям. Последнее нуждается в некотором пояснении. Предположим, что при увеличении температуры энергия начинает превосходить интерференционный интервал энергий , определенный выше. В этом случае весь интервал температур Т аналогично интервалу V при измерении вольт-амперной характеристики разбивается на интерференционно независимые интервалы , в которых интерференционные добавки могут иметь разный знак. Аналогично предыдущему суммарный эффект пропорционален . Среднее значение этого вклада равно и убывает с ростом температуры, как . Такая зависимость амплитуды мезоскопических эффектов от температуры согласуется с экспериментальными данными. Таким образом, для наблюдения ярко выраженных мезоскопических эффектов необходимо выполнить условие , которое соответствует неравенству , то есть размер проводника должен быть меньше длины когерентности.

Итак, для наблюдения мезоскопических эффектов необходимо выполнить не только условие , но и . Отметим при этом, что температурное размытие распределения Ферми своей сути эквивалентно усреднению по различным конфигурациям рассеивателей и поэтому никак не сказывается при вычислении квантовых поправок к проводимости.

В 1980 г. К. фон Клитцинг, Г. Дорда и М. Пеппер открыли новое физическое явление, получившие название квантовый эффект Холла. За это открытие К. фон Клитцингу присуждена Нобелевская премия по физике 1985 г. Суть явления заключается в том, что при низких температурах в сильном магнитном поле в холловском сопротивление r_xy двумерных электронов наблюдаются плато , где i – целое число (рис. 6).

Одновременно в области плато магнетосопротивление r_xy близко к нулю (по крайней мере, в 10⁷ раз меньше своего обычного значения). Изменения холловской проводимости на плато очень малы: Ds_xy/s_xy<10^-8.

Объясняется квантовый эффект Холла наличием локализованных состояний электронов в двумерном канале проводимости, и его физика имеет много общего с некоторыми аспектами мезоскопической физики.

Итак, в нормальном (не сверхпроводящем металле) каждый электрон сохраняет фазовую когерентность на длине . Эффекты, связанные с интерференцией электронов с энергиями в интервале вокруг энергии Ферми, проявляются на расстояниях меньше или порядка . В сверхпроводнике волновая функция сохраняет когерентность на на произвольно больших длинах. Эти когерентности влияют друг на друга. Например, существует так называемый эффект близости, при котором сверхпроводимость наводится в нормальном металле на глубину . Между двумя сверхпроводниками может быть нормальный металл (слабая связь) толщиной или . Такой эффект похож на эффект Джозефсона (туннелирование куперовских сверхпроводящих пар через тонкий диэлектрик, разделяющий два сверхпроводника). Комбинации нормальных и сверхпроводящих составляющих в мезоскопике приводят к огромному количеству новых и интересных явлений. Например, добавляя сверхпроводники к кольцу из нормального металла, в котором наблюдаются осцилляции Аронова-Бома, можно увеличить амплитуду последних более чем на два порядка{ref:r6}. Особенно интересны системы, в которых между сверхпроводниками находится полупроводник, в котором легко получить баллистический режим проводимости (электрон проходит от одного контакта до другого без рассеяния). Можно изучать переход металл-изолятор и наведение сверхпроводимости в полупроводнике. Новые возможности открываются в использовании органических проводников в контакте со сверхпроводниками{ref:r7}.

Мезоскопические явления интересны тем, что благодаря им тело конечного размера обнаруживает свойства, не проявляющиеся в его средних характеристиках. Так, макроскопически изотропное (и негиротропное) тело в результате включения в него случайных неоднородностей теряет и изотропию, и центр инверсии. В результате мезоскопических флуктуаций в таком теле возможны фотогальванический эффект, анизотропия сопротивления и т. п.

Мезоскопические эффекты накладывают естественный предел на уменьшение размеров элементов интегральных схем в микроэлектронике и, по существу, ограничивают беспредельную миниатюризацию компьютерной техники. Микроскопические флуктуации делают невозможным производство одинаковых стандартных элементов (резисторов, р-n переходов, ячеек памяти и т. д.) слишком малых размеров. Более того, из-за мезоскопических эффектов нельзя даже рассчитывать на то, что среди элементов малых размеров возможно путем отбора найти такие, которые были бы близки друг другу по ряду параметров и обладали нужными свойствами (например, гладкой вольт-амперной характеристикой без участков отрицательной проводимости, гладкой зависимостью сопротивления от магнитного поля и т. д.). Физика твердого тела впервые столкнулась с эффектами фиксированных и воспроизводимых флуктуаций, а также с тем, что при достижении определенного малого (но вполне еще макроскопического) размера металлические или полупроводниковые системы теряют некоторые свойства, присущие образцам большого размера. Понимание этих проблем и своевременный их учет имеют большое значение при создании современных микроэлектронных приборов.

Ссылки <Обычные (не гипертекстовые) ссылки в тексте статьи > 

¹ Washburn S., Wеbb R. A. Aharonov-Bohm effect in normal metal quantum coherence and transport. Advances in Physics, 1986, v. 35, p. 375.

² A.A. Abrikosov, I.A. Ryzkin. Advances in Physics, 1978, v. 27, p. 147.

³ Y. Aharonov, D. Bohm. Phys. Rev., 1959, v. 115, p. 485.

⁴ B. Кrаmer, G. Bergmann, Y. Buynserade (eds). Localization, Interaction and Transport Phenomena. Springer series in Solid State Physics, 1984, v. 61.

⁵ Д.Ю. Шарвин, Ю.В. Шарвин. Письма в ЖЭТФ, 1981, т.34, с.285.

⁶ V.T. Petrashov, V.N. Antonov, P. Delsing, T. Claeson. Phys. Rev. Lett., 1995, v.74, p. 5268.

⁷ Й. Имри, Мезоскопическая физика. М.: Физматлит, 2002, 304с.