Решение уравнений и неравенств

Решение уравнения или неравенства — нахождение всех значений неизвестной величины, удовлетворяющих данному уравнению или неравенству.

Искомые значения неизвестной называются корнями (решениями) уравнения или решениями неравенства соответственно. Из задания должно быть понятно, в рамках какой числовой системы требуется искать эти значения: в действительных числах (по умолчанию — именно в них), в натуральных числах, в комплексных числах и т.д.

Уравнение или неравенство может содержать несколько буквенных величин: часть из них объявляются, по условию, неизвестными (по умолчанию это величины x,y,…), а остальные — параметрами (коэффициентами, обозначаемыми обычно первыми буквами алфавита). Если неизвестных несколько, то ищутся все наборы этих неизвестных, удовлетворяющие уравнению или неравенству. А если уравнение содержит параметры, то от них могут зависеть не только сами искомые значения, но и их количество.

Например, ответ в уравнении ax=b выглядит так: если a≠0, то x=b/a; если a=0=b, то x — любое; если a=0≠b, то корней нет.

Задача может содержать более одного уравнения или неравенства. Тогда должна быть явно указана логическая связь между ними: обычно это бывает система (требующая одновременное их выполнение), реже — совокупность (предполагающая выполнение хотя бы одного из них). Скрытой формой системы является накладывание в условии задачи дополнительных ограничений на неизвестную величину, например, принадлежность ее заданному промежутку.

Одно уравнение или неравенство с одной неизвестной величиной имеет вид

f(x) ۷ g(x),

где f и g — конкретные числовые функции от x, а, ۷ — один из знаков =, >, <, ≥, ≤ или даже ≠. Если функции f и g заданы формулами, то пересечение естественных областей допустимых значений этих формул называется областью определения самого уравнения или неравенства, или его областью допустимых значений (ОДЗ).

В соответствии с видом функций, входящих в запись уравнения или неравенства, последние делятся на линейные, квадратные, алгебраические, рациональные, иррациональные, показательные, логарифмические, тригонометрические и др. Известны общие методы решения всех простейших уравнений и неравенств перечисленных типов, а алгебраических уравнений (с одной неизвестной) — только не выше четвертой степени (Дж. Кардано, Л. Феррари).

С точки зрения применяемого к решению уравнений или неравенств аппарата, наиболее популярны следующие подходы:

1) алгебраический, состоящий в преобразовании выражений, входящих в уравнение или неравенство, к более простому виду;

2) логический — путем рассуждений: или равносильными переходами, или переходом к следствию (с последующей проверкой полученных значений неизвестной), или подбором подходящих значений (с доказательством того, что остальные значения неизвестной не подходят), или конечным перебором всех возможных значений неизвестной, или каким-либо еще рассуждением;

3) функциональный — с помощью свойств функций, входящих в запись уравнения или неравенства, как-то: монотонность, ограниченность, четность (нечетность), периодичность, непрерывность, дифференцируемость и т.д.;

4) графический, при котором уравнению или неравенству придается геометрический смысл и к полученному образу (на прямой, на плоскости или даже в пространстве) применяются наглядные геометрические соображения и факты.