Зарегистрироваться

Элементарная математика

Категории Элементарная математика | Под редакцией сообщества: Математика

Элементарная математика — совокупность тех разделов математики, которые имеют сравнительно невысокий уровень абстракции и, прежде всего, не используют таких понятий, как бесконечность и предел. Остальная часть математики считается высшей, однако четкую границу между элементарной и высшей математикой провести очень трудно.

Бытует мнение, что элементарная математика состоит, по определению, в точности из тех разделов, которые преподаются в средней школе. Это не совсем верно: в школьное образование уже давно (наиболее активно — с начала XX века) внедряются элементы высшей математики.

Так, в современных российских школах, наряду с алгеброй, в старших классах изучаются также и начала математического анализа (непрерывность, производная, интеграл и даже простейшие примеры дифференциальных уравнений), в геометрии используются некоторые методы аналитической геометрии, а весь курс математики средней школы пронизывают элементы теории вероятностей и статистики. Необходимость постоянных изменений школьной программы обусловлена и развитием самой математики, и все более активным ее применением в других дисциплинах естественнонаучного и гуманитарного цикла (в физике, химии, биологии, экономике, социологии).

Элементарная математика вовсе не является элементарной в смысле простоты. Такое ее название отражает, скорее, ее первоначальность, или фундаментальность, по отношению ко всей математике в целом.

Включение элементарной математики в школьное образование значительно повышает его качество и является совершенно необходимым для последующих научных исследований или для изучения математики как самостоятельной науки. Одним из способов отбора талантливой молодежи с целью ее вовлечения в дальнейшую учебную и творческую исследовательскую работу является проведение математических олимпиад школьников, конкурсов, конференций и других интеллектуальных соревнований учащихся средних школ.

Традиционно элементарную математику делят на следующие основные составляющие: арифметика, алгебра, геометрия (планиметрия и стереометрия) и элементарные функции. Каждому из перечисленных четырех разделов можно поставить в соответствие свои аналоги из высшей математики, активно использующие абстракции более высокого уровня:

  1. арифметике — теорию чисел и вычислительную математику (в этом смысле арифметику, в свою очередь, можно считать элементарной теорией чисел);
  2. алгебре (точнее, элементарной алгебре) — линейную, высшую и булеву алгебры;
  3. геометрии (точнее, элементарной геометрии) — аналитическую и дифференциальную геометрии, а также топологию;
  4. элементарным функциям — математический анализ, теорию функций и дифференциальные уравнения.

Иногда в качестве самостоятельных разделов элементарной математики выделяют еще и тригонометрию, которая привязана и к геометрии, и к элементарным функциям, а также комбинаторику, логику и теорию множеств, которые представляют собой зачатки серьезных разделов высшей математики: теории вероятностей, математической логики и аксиоматической теории множеств. 

Среди важнейших тем и проблем, находящихся в центре внимания элементарной математики, можно назвать:

  • запись чисел, возникающих в процессе счета или измерения, описание числовых систем, точное или приближенное вычисление значения искомой величины;
  • решение уравнений и неравенств, их составление по данным задачи и интерпретация полученного ответа;
  • описание взаимного расположения геометрических фигур и их элементов, их построение (в частности, с помощью циркуля и линейки), нахождение их численных характеристик — углов, отношений, длин, площадей, объемов;
  • исследование зависимостей одних величин от других, в том числе и имеющих практическое содержание (к примеру, времени движения от пройденного пути или от скорости, объема цилиндра от его высоты или радиуса).

Таким образом, элементарная математика восходит непосредственно к окружающей действительности и помогает производить практические операции с реальными объектами. Многие понятия высшей математики имеют свои прообразы в элементарной математике, где они, как правило, не носят абстрактный характер, а именно:

  • понятие иррационального числа связано лишь с конкретными элементарными операциями или функциями (скажем, с извлечением корня, логарифмами, тригонометрическими функциями и т.д.);
  • рассматриваемые функции ясно определены — они либо заданы формулами (с помощью алгебраических операций), либо имеют конкретную геометрическую интерпретацию (например, тригонометрические функции);
  • кривые или поверхности возникают только в связи с конкретными элементарными функциями или геометрическими построениями;
  • понятие бесконечности воспринимается не как нечто полностью осуществимое (актуальная бесконечность), а только как отсутствие всякого ограничения (т.е. возможность продолжать рассматриваемое действие сколь угодно далее — потенциальная бесконечность);
  • понятие предела последовательности изучается лишь на конкретных примерах и с определенной целью (скажем, периметры вписанных многоугольников — для определения длины окружности);
  • понятие предела функции, лежащее в основе таких ее свойств, как непрерывность, дифференцируемость, интегрируемость, появляется лишь в практических целях (да и то на интуитивном уровне) при исследовании неразрывности конкретного графика, построении касательной к нему, вычислении площади параболического сегмента и т.д.

Историческое развитие математики с ее постоянным разрастанием и усложнением ярко демонстрирует процесс постепенного перерастания элементарной математики в высшую.

Эта статья еще не написана, но вы можете сделать это.