Гладкое многообразие
Rⁿ
Гладкое многообразие
Топологическим многообразием размерности n называется всякое хаусдорфово топологическое пространство, обладающее следующим свойством: каждая его точка имеет окрестность, гомеоморфную внутренности n-мерного шара, и всё пространство может быть представлено в виде объединения не более чем счётного множества таких окрестностей. Соответствующие гомеоморфизмы задают локальные координаты в окрестности точек многообразия. Координаты, заданные разными гомеоморфизмами в окрестности одной и той же точки, отличаются на так называемые функции перехода или функции склейки. Топологическое многообразие называется гладким, если все функции перехода – гладкие.
Понятие гладкого многообразия является одним из основных понятий современной математики. Оно возникает в результате экспликации и одновременного обобщения на высшие размерности интуитивного понятия поверхности, рассматриваемой безотносительно к её расположению в пространстве. Основные принципы этой экспликации заимствуются при этом из картографии.
Опишем еще один подход к определению структуры гладкого многообразия (эквивалентный первому). Пусть M – произвольное множество R². Картой в M называется пара (U, h), где U – подмножество в M, а h – биективное отображение U в некоторое открытое множество пространства
. Две карты (U, h) и (V, k) в M называются согласованными, если они либо не пересекаются, либо образы пересечения отрыты в , и отображение перехода является диффеоморфизмом.
Множество согласованных карт, покрывающих всё M, называется атласом на M. Максимальный атлас – это атлас, состоящий из карт, согласованных с каждой картой произвольного атласа . Максимальные атласы на M называются гладкими структурами. Множество M с заданной на нём гладкой структурой называется гладким многообразием.
Подчеркнём, что в определении гладкого многообразия входит число n – размерность пространства , содержащего образы h(U) носителей карт . Это число называется размерностью гладкого многообразия M.
Гладкие многообразия можно вкладывать в евклидово пространство подходящей размерности. Вложением называется гладкое отображение, дифференциал которого является мономорфизмом, отображение f взаимно-однозначно отображает многообразие на свой образ, и этот образ является замкнутым множеством.. Как утверждается в теореме Уитни, любое гладкое компактное многообразие размерности n можно вложить в евклидово пространство размерности (2n+1).
Примером гладких одномерных многообразий могут служить прямая, парабола, окружность, эллипс, непрерывная кривая без самопересечений.
Примером двумерного многообразия может служить любая область на плоскости (например, внутренность круга x2 + y2 < r2), сама плоскость, параболоид, сфера, эллипсоид, тор и т. п. Двумерные многообразия характеризуются тем, что у каждой их точки имеется окрестность, гомеоморфная внутренности круга. Это требование исключает, например, из числа двумерных многообразий коническую поверхность (её вершина, в которой сходятся две её полости, не имеет требуемого вида окрестности). Однако выделяют специальный класс объектов, которые не удовлетворяют этому требованию, — т. н. многообразия с краем (например, замкнутый круг x2 + y2 ≤ r2). Примером трёхмерного многообразия может служить обычное евклидово пространство, а также любое открытое множество в евклидовом пространстве. Трёхмерные многообразия характеризуются тем, что у каждой их точки имеется окрестность, гомеоморфная внутренности шара.
Литература
М. М. Постников (1987). Гладкие многообразия
А. С. Мищенко, А. Т. Фоменко (1980). Курс дифференциальной геометрии
Выходные данные:
- Просмотров: 12
- Комментариев: 0
- Опубликовано: 25.10.2010
- Версий: 14 , текущая: 14
- Статус: пользовательская
- Рейтинг: 0.0
Автор:
Иванов Александр Олегович
- профессор; доктор физико-математических наук
- Редактор
Ссылки отсюда
Категории:Детализирующие понятия:
Ссылки сюда
Детализирующие понятия: